Теория вероятностей и математическая статистика. Солопахо А.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Окончательно
()
(
)
()
[]
3
2
0
3
2
2
2
2
=−=−= XMXMXD .
2.5. Независимость случайной величины и коэффициент корреляции
Выявление зависимости между различными экономическими факторами и измерение силы этой зависимости явля-
ется важным инструментом самых разных экономических исследований. Необходимый теоретический материал рассмот-
рен в [1, п. 2.6] и др.
Пример 2.7. Найдем коэффициент корреляции между с. в.
X
и
2
X
Y
=
, если область возможных значений с. в.
X
представляет собой отрезок
[]
1,1− .
Решение. В соответствии с формулой коэффициента корреляции имеем
()()
()()()
()
()
=
⋅
−−
=
2
22
XDXD
XMXXMXM
r
XY
()
(
)
()
(
)
(
)
()
()
=
⋅
⋅+⋅−⋅−
=
2
2223
XDXD
XMXMXMXXMXXM
() ()
() ()
()
()
(
)
()
()
=
⋅
⋅+⋅−⋅−
=
2
2223
XDXD
XMXMXMXMXMXMXM
() ()
()
()
()
.
2
23
XDXD
XMXMXM
⋅
⋅−
=
Но при указанной области значений с. в.
X
легко доказать, что
(
)
0
=
XM и
(
)
0
3
=XM
, а тогда и 0
=
XY
r , в то вре-
мя, как очевидно, что с. в.
X
и Y полностью взаимозависимы. Данный пример показывает ограниченность возможно-
стей коэффициента корреляции как меры взаимозависимости между с. в.
2.6. Лемма Маркова и неравенство Чебышева
Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 2.7] и др.
Особенностью соответствующих неравенств является то, что они позволяют оценивать (хотя зачастую достаточно
грубо) вероятности тех или иных значений с. в., имея минимум информации об этих с. в.
Пример 2.8. Среднее число покупателей в магазине за день составляет 300 человек. Оценить вероятность того, что в
очередной день их число превысит 500 человек.
Решение. В данном случае неизвестен ни вид закона распределения этой с. в., ни ее параметры, кроме математиче-
ского ожидания
()
300=XM .
Кроме того, ясно, что это неотрицательная с. в. Применяя неравенство Маркова, имеем
{}
5
3
500
300
500 =≤>xP
.
Пример 2.9. Вероятность попадания по мишени в каждом отдельном выстреле
7,0
=
p
. Оценить вероятность, что из
100 выстрелов в цель попадут от 50 до 70.
Решение. Если считать, что результаты выстрелов независимы, то количество попаданий это биномиально распреде-
ленная с. в. Для этого распределения известно, что
(
)
707,0100
=
⋅
=⋅= pnXM ,
(
)
213,07,0100
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
qpnXD .
Тогда по неравенству Чебышева имеем
{}{}(){}
()
=
ε
−>ε≤−=≤−=≤≤
2
110708060
XD
XMxPxPxP
.79,0
100
21
1 =−=
Интересно решить ту же задачу с помощью интегральной теоремы Лапласа.
2.7. Многомерные случайные величины
Как известно, практическая важность теории с. в. основана на том, что с. в. является математической моделью па-
раметров реальных процессов и объектов. Последние редко характеризуются одним отдельным параметром, а сразу неко-
торым их набором. Например, случайным образом отобранное коммерческое предприятие, очевидно, в той или иной ме-

Страницы