Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ψ
ρ(ψ(x), ψ(y)) = kArch
r
2
− (
2r
2
x
r
2
+ x
2
,
2r
2
y
r
2
+ y
2
)
s
r
2
−
2r
2
x
r
2
+ x
2
2
s
r
2
−
2r
2
y
r
2
+ y
2
2
=
kArch
(r
2
+ x
2
)(r
2
+ y
2
) − 4r
2
(x, y)
(r
2
− x
2
)(r
2
− y
2
)
= ρ
P
(x, y).
< y
0
; y >=< −r; 0 > +λ < r; x >, λ ∈ R,
S
+
(< 0; 0 >, r) x
2
0
+x
2
= r
2
r
2
(λ −1)
2
+
λ
2
x
2
= r
2
λ =
2r
2
r
2
+x
2
x
0
= 0
ψ(x) =
2r
2
x
r
2
+ x
2
.
ψ(ψ
−1
(x)) =
2r
3
x
r +
√
r
2
− x
2
r
2
+
rx
r +
√
r
2
− x
2
2
= x.
B(0, r) ρ
P
ρ ψ : (B(0, r), ρ) → (B(0, r), ρ)
0 ρ
0 ψ
−1
(B(0, r), ρ) (B(0, r), ρ
P
)
E B(0, r)
0
S(0, r)
     Äîêàæåì ñîõðàíåíèå ðàññòîÿíèÿ îòîáðàæåíèåì ψ

                                        2  2r2 x     2r2 y
                                  r −( 2         ,          )
                                          r + x2 r 2 + y 2
      ρ(ψ(x), ψ(y)) = kArch s               2 s                    2 =
                                        2                      2
                                                       
                                     2r x                   2r y
                             r2 −                 r 2−
                                    r2 + x2                r2 + y 2

                  (r2 + x2 )(r2 + y 2 ) − 4r2 (x, y)
            kArch                                    = ρP (x, y).
                        (r2 − x2 )(r2 − y 2 )
Ïðÿìàÿ ñ óðàâíåíèåì

               < y0 ; y >=< −r; 0 > +λ < r; x >,         λ ∈ R,

ïåðåñåêàåò âåðõíþþ ïîëóñôåðó S+ (< 0; 0 >, r) ñ óðàâíåíèåì x20 + x2 = r2 â
òî÷êå ñ ïàðàìåòðîì íà ïðÿìîé, óäîâëåòâîðÿþùèì óðàâíåíèþ r2 (λ − 1)2 +
λ2 x2 = r2 .
                             2
   Ñëåäîâàòåëüíî, λ = r22r+x2 . Ïîñëå ïðîåêöèè íà ãèïåðïëîñêîñòü ñ óðàâ-
íåíèåì x0 = 0, ïîëó÷èì
                                        2r2 x
                                 ψ(x) = 2     .
                                       r + x2
Êðîìå òîãî,
                                    2r3 x
                                    √
                   −1           r + r 2 − x2
                ψ(ψ (x)) =                    2 = x.
                                       rx
                           r2 +       √
                                  r + r 2 − x2
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî îáðàòíû.
   Òåîðåìà 3. Åñëè íà øàðå B(0, r) çàìåíèòü ìåòðèêó ρP íà ìåòðè-
êó ρ, òî îòîáðàæåíèå ψ : (B(0, r), ρ) → (B(0, r), ρ) áóäåò ñîõðàíÿòü
ëó÷è, èñõîäÿùèå èç 0, è óâåëè÷èâàòü íà íèõ â äâà ðàçà â ìåòðèêå ρ ðàñ-
ñòîÿíèÿ îò 0. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ψ −1 îòîáðàæàåò ãèïåðïëîñêîñòè
ïðîñòðàíñòâà (B(0, r), ρ) â ãèïåðïëîñêîñòè ïðîñòðàíñòâà (B(0, r), ρP ),
êîòîðûå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E åñòü ïåðåñå÷åíèÿ c øàðîì B(0, r)
åâêëèäîâûõ ñôåð èëè åâêëèäîâûõ ãèïåðïëîñêîñòåé (ñîäåðæàùèõ 0), îð-
òîãîíàëüíûõ ñôåðå S(0, r).



                                       19

Страницы