Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
= 0
λ =
r
r+
√
r
2
+x
2
f(< x
0
; x >) =
rx
r +
√
r
2
+ x
2
.
f(f
−1
(x)) =
2r
3
x
r
2
− x
2
r +
s
r
2
+
2r
2
x
r
2
− x
2
2
= x.
ρ
P
: B(0, r) × B(0, r) → R
+
, ρ
P
(x, y) = ρ
L
(f
−1
(x), f
−1
(y)).
sh
t
2
=
r
ch t − 1
2
, th
t
2
=
r
ch t − 1
ch t + 1
,
ρ
P
(x, y) = kArch
(r
2
+ x
2
)(r
2
+ y
2
) − 4r
2
(x, y)
(r
2
− x
2
)(r
2
− y
2
)
=
2kArsh
r|x − y|
p
(r
2
− x
2
)(r
2
− y
2
)
= 2kArth
r|x − y|
p
r
2
(y − x)
2
+ (r
2
− x
2
)(r
2
− y
2
)
.
B(0, r)
ψ : (B(0, r), ρ
P
) → (B(0, r), ρ), ψ(x) =
2r
2
x
r
2
+ x
2
B(0, r) ⊂ E < −r; 0 >∈ R × E
S
+
(< 0; 0 >, r)
E
B(0, r) ⊂ E
ψ
−1
: (B(0, r), ρ) → (B(0, r), ρ
P
), ψ
−1
(x) =
rx
r +
√
r
2
− x
2
.
ïåðåñåêàåò ãèïåðïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì x0 = 0 â òî÷êå ñ ïàðàìåòðîì íà
ïðÿìîé λ = r+√rr2 +x2 . Ñëåäîâàòåëüíî,
                                                rx
                        f (< x0 ; x >) =       √        .
                                            r + r2 + x2
Êðîìå òîãî,
                                      2r3 x
                                      2     2
                f (f −1 (x)) =    s r −x          2 = x.
                                               2
                                            2r x
                               r + r2 +
                                          r 2 − x2
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî îáðàòíû.
   Îïðåäåëèì ìåòðèêó Ïóàíêàðå ôîðìóëîé
      ρP : B(0, r) × B(0, r) → R+ ,         ρP (x, y) = ρL (f −1 (x), f −1 (y)).
Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû
                      r                              r
                 t      ch t − 1               t         ch t − 1
               sh =              ,           th =                 ,
                 2         2                   2         ch t + 1
íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
                                (r2 + x2 )(r2 + y 2 ) − 4r2 (x, y)
              ρP (x, y) = kArch                                    =
                                      (r2 − x2 )(r2 − y 2 )
              r|x − y|                               r|x − y|
 2kArsh p                       = 2kArth p                                    .
          (r2 − x2 )(r2 − y 2 )           r2 (y − x)2 + (r2 − x2 )(r2 − y 2 )
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè ìîäåëü Ïóàíêàðå ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâ-
ñêîãî â îòêðûòîì øàðå B(0, r) åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
   Òåîðåìà 2. Îòîáðàæåíèå
                                                               2r2 x
              ψ : (B(0, r), ρP ) → (B(0, r), ρ),     ψ(x) = 2
                                                              r + x2
ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé, êîòîðàÿ åñòü êîìïîçèöèÿ îãðàíè÷åíèÿ íà øàð
B(0, r) ⊂ E ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè èç òî÷êè < −r; 0 >∈ R × E,
ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ íà âåðõíåé ïîëóñôåðå S+ (< 0; 0 >, r) åâêëèäî-
âà ïðîñòðàíñòâà E, è îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè ýòîé ïîëóñôåðû íà øàð
B(0, r) ⊂ E . Îáðàòíàÿ èçîìåòðèÿ èìååò âèä
                                                                 rx
       ψ −1 : (B(0, r), ρ) → (B(0, r), ρP ),     ψ −1 (x) =     √        .
                                                            r + r 2 − x2
                                       18

Страницы