Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

sh ρ(y, u)
s
1 −
sh
2
ρ(z, u)
sh
2
ρ(y, u)
=
q
ch
2
ρ(y, u) − 1 − sh
2
ρ(z, u) =
q
ch
2
ρ(y, z) ch
2
ρ(z, u) − ch
2
ρ(z, u) = ch ρ(z, u) sh ρ(y, z).
R × E
(< x
0
; x >, < y
0
; y >) = x
0
y
0
− (x, y),
x
0
y
0
∈ R x y ∈ E
S
+
= {< x
0
; x >∈ R × E : < x
0
; x >
2
= r
2
, x
0
> 0},
r > 0
ρ
L
(< x
0
; x >, < y
0
; y >) = kArch
(< x
0
; x >, < y
0
; y >)
r
2
,
F : (S
+
, ρ
L
) → (B(0, r), ρ) ⊂ E, F (< x
0
; x >) =
r
x
0
x =
r
√
r
2
+ x
2
x.
F
−1
: (B(0, r), ρ) → (S
+
, ρ
L
), F
−1
(x) =
r
√
r
2
− x
2
< r; x > .
F : (S
+
, ρ
L
) → (B(0, r), ρ)
0
S
+
x
0
= r
x
0
= 0
(S
+
, ρ
L
) S
+
0
                s
                       sh2 ρ(z, u)
                                     q
      sh ρ(y, u) 1 − 2             = ch2 ρ(y, u) − 1 − sh2 ρ(z, u) =
                       sh ρ(y, u)
      q
        ch2 ρ(y, z) ch2 ρ(z, u) − ch2 ρ(z, u) = ch ρ(z, u) sh ρ(y, z).

  4. Ìîäåëè Ïóàíêàðå ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íà âåðõíåé
     ïîëóñôåðå ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà èíäåêñà 1, â
     îòêðûòîì øàðå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà è â îòêðûòîì
          ïîëóïðîñòðàíñòâå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.

  Ðàññìîòðèì â R × E ïñåâäîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

                    (< x0 ; x >, < y0 ; y >) = x0 y0 − (x, y),
ãäå x0 , y0 ∈ R, x, y ∈ E . Çàäàâ íà âåðõíåé ïîëóñôåðå ïñåâäîåâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà èíäåêñà 1

            S+ = {< x0 ; x >∈ R × E : < x0 ; x >2 = r2 , x0 > 0},
ãäå r > 0, ìåòðèêó
                                                  (< x0 ; x >, < y0 ; y >)
         ρL (< x0 ; x >, < y0 ; y >) = kArch                               ,
                                                             r2
ìû ïîëó÷èì ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íà ñôåðå ïñåâäî-
åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà èíäåêñà 1.
  Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå (îïóñòèâ òèëüäó ó ìåòðèêè)
                                                                 r         r
  F : (S+ , ρL ) → (B(0, r), ρ) ⊂ E,          F (< x0 ; x >) =      x=√          x.
                                                                 x0     r 2 + x2
Òîãäà íåòðóäíî íàéòè îáðàòíîå îòîáðàæåíèå
                                                                r
     F −1 : (B(0, r), ρ) → (S+ , ρL ),         F −1 (x) = √           < r; x > .
                                                              r2 − x2
Òåîðåìà 1. Îòîáðàæåíèå F : (S+ , ρL ) → (B(0, r), ρ) ÿâëÿåòñÿ èçîìåò-
ðèåé, êîòîðàÿ åñòü êîìïîçèöèÿ öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè èç òî÷êè 0 ñôåðû
S+ íà ãèïåðïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì x0 = r è îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè
ýòîé ãèïåðïëîñêîñòè íà ãèïåðïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì x0 = 0. Ñëåäî-
âàòåëüíî, ïðÿìûå ïðîñòðàíñòâà (S+ , ρL ) åñòü ñå÷åíèÿ S+ äâóìåðíûìè
ïëîñêîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè 0.

                                         16

Страницы