Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ch a
l
ch b
l
− sh a
l
th d
l
ch b
l
= ch a
l
ch b
l
− sh a
l
sh b
l
cos γ
l
.
(iii)
cos γ
l
+ cos α
l
cos β
l
sin α
l
sin β
l
=
ch b
l
ch a
l
− ch c
l
sh b
l
sh a
l
+
(ch c
l
ch b
l
− ch a
l
)(ch c
l
ch a
l
− ch b
l
)
sh
2
c
l
sh b
l
sh a
l
sh a
l
sh b
l
1 −
(ch c
l
ch a
l
− ch b
l
)
2
sh
2
c
l
sh
2
a
l
=
(ch
2
c
l
− 1)(ch b
l
ch a
l
− ch c
l
) + ch
2
c
l
ch b
l
ch a
l
+ ch b
l
ch a
l
− ch c
l
(ch
2
b
l
+ ch
2
a
l
)
(ch
2
c
l
− 1) sh
2
a
l
− ch
2
c
l
ch
2
a
l
+ 2 ch c
l
ch a
l
ch b
l
− ch
2
b
l
=
ch c
l
(1 + 2 ch c
l
ch a
l
ch b
l
− ch
2
c
l
− ch
2
b
l
− ch
2
a
l
)
−ch
2
c
l
− sh
2
a
l
+ 2 ch c
l
ch a
l
ch b
l
− ch
2
b
l
= ch c
l
.
(iv) m
l
c
l
ch a
l
= ch
c
l
2
ch m
l
− sh
c
l
2
sh m
l
cos δ
l
,
ch b
l
= ch
c
l
2
ch m
l
− sh
c
l
2
sh m
l
cos (π − δ
l
).
(v)
ch d
l
= ch
a
l
2
ch
b
l
2
− sh
a
l
2
sh
b
l
2
cos γ
l
= ch
a
l
2
ch
b
l
2
−
ch a
l
ch b
l
− ch c
l
4 ch
a
l
2
ch
b
l
2
=
(1 + ch a
l
)(1 + ch b
l
) − ch a
l
ch b
l
+ ch c
l
4 ch
a
l
2
ch
b
l
2
=
ch a
l
+ ch b
l
+ ch c
l
+ 1
4 ch
a
l
2
ch
b
l
2
.
(vi)
sh a
l
sin δ
l
=
sh x
l
sin
γ
l
2
,
sh b
l
sin (π − δ
l
)
=
sh y
l
sin
γ
l
2
.
         ch al ch bl − sh al th dl ch bl = ch al ch bl − sh al sh bl cos γl .
(iii) Ïðåîáðàçóåì ñëåäóþùåå îòíîøåíèå, èñïîëüçóÿ òåîðåìû ñèíóñîâ è
êîñèíóñîâ
                            cos γl + cos αl cos βl
                                                     =
                                 sin αl sin βl
       ch bl ch al − ch cl (ch cl ch bl − ch al )(ch cl ch al − ch bl )
                           +
           sh bl sh al                     sh2 cl sh bl sh al
                                                                        =
                                  (ch cl ch al − ch bl )2
                                                         
                     sh al
                             1−
                     sh bl            sh2 cl sh2 al
(ch2 cl − 1)(ch bl ch al − ch cl ) + ch2 cl ch bl ch al + ch bl ch al − ch cl (ch2 bl + ch2 al )
                                                                                                 =
            (ch2 cl − 1) sh2 al − ch2 cl ch2 al + 2 ch cl ch al ch bl − ch2 bl
       ch cl (1 + 2 ch cl ch al ch bl − ch2 cl − ch2 bl − ch2 al )
                                                                   = ch cl .
           − ch2 cl − sh2 al + 2 ch cl ch al ch bl − ch2 bl
(iv) Ïóñòü îñíîâàíèå ìåäèàíû ml äåëèò ñòîðîíó cl . Èñïîëüçóåì òåîðåìó
êîñèíóñîâ äëÿ äâóõ îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ.
                                cl             cl
                   ch al = ch ch ml − sh sh ml cos δl ,
                                 2              2
                             cl             cl
                ch bl = ch ch ml − sh sh ml cos (π − δl ).
                             2              2
Ñëîæèâ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì èñêîìóþ ôîðìóëó.
   (v) Èñïîëüçóåì òåîðåìó êîñèíóñîâ ñíà÷àëà äëÿ ìåíüøåãî òðåóãîëüíèêà,
çàòåì äëÿ èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà.
                         al   bl   al bl          al bl
            ch dl = ch      ch − sh sh cos γl = ch ch −
                         2    2    2  2           2  2
      ch al ch bl − ch cl   (1 + ch al )(1 + ch bl ) − ch al ch bl + ch cl
              al    bl
                          =                                                =
         4 ch 2 ch 2                        4 ch a2l ch b2l
                             ch al + ch bl + ch cl + 1
                                                       .
                                   4 ch a2l ch b2l
(vi) Èñïîëüçóåì òåîðåìó ñèíóñîâ äëÿ ñìåæíûõ òðåóãîëüíèêîâ.
                    sh al    sh xl             sh bl      sh yl
                           =         ,                  =        .
                    sin δl   sin γ2l       sin (π − δl ) sin γ2l
Âçÿâ îòíîøåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì èñêîìîå ðàâåíñòâî.

                                          14

Страницы