Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(vii)
ρ(x, ω) = kArch
1 −
x
2
p
1 − y
2
+ (x, y)
√
1 − x
2
p
1 − y
2
+
√
1 − x
2
√
1 − x
2
v
u
u
t
1 −
x
p
1 − y
2
+ y
√
1 − x
2
p
1 − y
2
+
√
1 − x
2
!
2
=
kArch
1 − (x, y) +
√
1 − x
2
p
1 − y
2
q
2 − 2x
2
− 2y
2
+ 2
√
1 − x
2
p
1 − y
2
+ 2x
2
y
2
− 2(x, y)
√
1 − x
2
p
1 − y
2
=
kArch
1 − (x, y) +
√
1 − x
2
p
1 − y
2
√
2((1 − x
2
)(1 − y
2
))
1/4
q
1 − (x, y) +
√
1 − x
2
p
1 − y
2
=
kArch
r
ch ρ(x, y) + 1
2
=
1
2
ρ(x, y).
ρ(y, ω) =
1
2
ρ(x, y).
(viii)
r =
x ch ρ(0, x) + y ch ρ(0, y) + z ch ρ(0, z)
ch ρ(0, x) + ch ρ(0, y) + ch ρ(0, z)
.
a [x, y]
b [z, x]
r −y b −y r −z
a − z
xyzu
x y z α
l
u
sh ρ(x, u) = ch ρ(z, u) sh ρ(y, z).
β
l
[y, u] [y, x]
sh ρ(x, u) = sh ρ(y, u) sin β
l
= sh ρ(y, u)
r
1 − sin
2
(
π
2
− β
l
) =
   (vii) Ïðîâåäåì íåïîñðåäñòâåííûå âû÷èñëåíèÿ.
                                      2
                                        p                 √
                                    x 1 − y 2 + (x, y) 1 − x2
                                1−        p           √
                                            1 − y 2 + 1 − x2
        ρ(x, ω) = kArch                                            !2 =
                                                            √
                                    v
                                    u         p
                          √         u        x 1 − y 2 + y 1 − x2
                                  2
                            1 − x t1 −        p            √
                                                 1 − y 2 + 1 − x2
                                            √         p
                              1 − (x, y) + 1 − x2 1 − y 2
kArch q                     √         p                          √      p     =
         2 − 2x2 − 2y 2 + 2 1 − x2 1 − y 2 + 2x2 y 2 − 2(x, y) 1 − x2 1 − y 2
                                          √         p
                           1 − (x, y) + 1 − x2 1 − y 2
       kArch √                           q              √       p       =
                        2        2
               2((1 − x )(1 − y ))   1/4                      2
                                           1 − (x, y) + 1 − x 1 − y   2
                             r
                                ch ρ(x, y) + 1 1
                     kArch                       = ρ(x, y).
                                        2           2
Èçìåíÿÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì âòîðîå òðåáóåìîå ðàâåíñòâî
                                           1
                               ρ(y, ω) = ρ(x, y).
                                           2
(viii) Ðàññìîòðèì ðàäèóñ-âåêòîð
                    x ch ρ(0, x) + y ch ρ(0, y) + z ch ρ(0, z)
               r=                                              .
                       ch ρ(0, x) + ch ρ(0, y) + ch ρ(0, z)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äëÿ ðàäèóñà-âåêòîðà a ñåðåäèíû îòðåçêà [x, y] è äëÿ
ðàäèóñà-âåêòîðà b ñåðåäèíû îòðåçêà [z, x], íåïîñðåäñòâåííî óñòàíàâëèâà-
åì, ÷òî âåêòîð r − y ñîíàïðàâëåí âåêòîðó b − y è âåêòîð r − z ñîíàïðàâëåí
âåêòîðó a − z . Àíàëîãè÷íî, äëÿ äðóãîé ïàðû ìåäèàí.
  ×åòûðåõóãîëüíèêîì Ëàìáåðòà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê xyzu
ñ ïðÿìûìè óãëàìè ïðè âåðøèíàõ x, y , z è îñòðûì óãëîì αl ïðè âåðøèíå
u.
  Äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ëàìáåðòà èìååò ìåñòî ôîðìóëà
                     sh ρ(x, u) = ch ρ(z, u) sh ρ(y, z).
  Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü βl  óãîë ìåæäó îòðåçêàìè [y, u] è [y, x]. Òîãäà
                                                 r
                                                            π
      sh ρ(x, u) = sh ρ(y, u) sin βl = sh ρ(y, u) 1 − sin2 ( − βl ) =
                                                            2
                                      15

Страницы