Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F
ρ(F (< x
0
; x >), F (< y
0
; y >)) = kArch
r
2
− (
r
√
r
2
+ x
2
x,
r
p
r
2
+ y
2
y)
s
r
2
−
rx
√
r
2
+ x
2
2
v
u
u
t
r
2
−
ry
p
r
2
+ y
2
!
2
=
kArch
(< x
0
; x >, < y
0
; y >)
r
2
= ρ
L
(< x
0
; x >, < y
0
; y >) .
< y
0
; y >= λ <
p
r
2
+ x
2
; x >, λ ∈ R,
x
0
= r
λ =
r
√
r
2
+x
2
x
0
= 0
F (< x
0
; x >) =
r
√
r
2
+ x
2
x.
F (F
−1
(x)) =
r
2
x
√
r
2
− x
2
s
r
2
+
rx
√
r
2
− x
2
2
= x.
f < −r; 0 >∈ S
+
B(0, r) ⊂ E
f : S
+
→ B(0, r), f(< x
0
; x >) =
rx
r +
√
r
2
+ x
2
.
f
−1
: B(0, r) → S
+
, f
−1
(x) =
r
r
2
− x
2
< r
2
+ x
2
; 2rx > .
< y
0
; y >=< −r; 0 > +λ < r +
p
r
2
+ x
2
; x >, λ ∈ R,
     Äîêàæåì ñîõðàíåíèå ðàññòîÿíèÿ îòîáðàæåíèåì F
                                                         r           r
                                                  r2 − ( √     x, p         y)
                                                      r 2 + x2     r2 + y 2
ρ(F (< x0 ; x >), F (< y0 ; y >)) = kArch s                   v                    !2 =
                                                          2 u
                                                   rx         tr2 − p ry
                                                              u
                                            r − √
                                             2
                                                  r2 + x2                 r2 + y 2

              (< x0 ; x >, < y0 ; y >)
          kArch                        = ρL (< x0 ; x >, < y0 ; y >) .
                         r2
Ïðÿìàÿ ñ óðàâíåíèåì
                                 p
              < y0 ; y >= λ < r2 + x2 ; x >,          λ ∈ R,

ïåðåñåêàåò ãèïåðïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì x0 = r â òî÷êå ñ ïàðàìåòðîì íà
ïðÿìîé λ = √r2r+x2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå ïðîåêöèè íà ãèïåðïëîñêîñòü ñ
óðàâíåíèåì x0 = 0, ïîëó÷èì
                                                r
                         F (< x0 ; x >) = √           x.
                                              r2 + x2
Êðîìå òîãî,
                                         r2x
                                        √
                                        r 2 − x2
                  F (F −1 (x)) = s                  2 = x.
                                              rx
                                   r2 + √
                                            r 2 − x2
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî îáðàòíû.
   Ðàññìîòðèì ñòåðåîãðàôè÷åñêóþ ïðîåêöèþ f èç òî÷êè < −r; 0 >∈ S+
íà îòêðûòûé øàð B(0, r) ⊂ E
                                                          rx
            f : S+ → B(0, r),      f (< x0 ; x >) =      √         .
                                                      r + r 2 + x2
Äîêàæåì ýòî è òî, ÷òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå èìååò âèä
                                                 r
        f −1 : B(0, r) → S+ ,    f −1 (x) =    2   2
                                                     < r2 + x2 ; 2rx > .
                                              r −x
  Ïðÿìàÿ ñ óðàâíåíèåì
                                      p
         < y0 ; y >=< −r; 0 > +λ < r + r2 + x2 ; x >,           λ ∈ R,

                                       17

Страницы