Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ρ(0, ψ(x)) =
k
2
ln
r +
2r
2
|x|
r
2
+ x
2
r −
2r
2
|x|
r
2
+ x
2
= k ln
r + |x|
r − |x|
= 2ρ(0, x).
(B(0, r), ρ) (n, x) = p |n| = 1
0 ≤ p < r
ψ
−1
(B(0, r), ρ
P
)
2r
2
(n, x)
r
2
+ x
2
= p.
p = 0 (n, x) = 0 0
0 < p < r p(x
2
+ r
2
) − 2r
2
(n, x) = 0
E px − r
2
n
S(0, r) x
2
=
r
2
(px − r
2
n, x) = pr
2
− r
2
(n, x) = 0,
θ : B(< 0; 0 >, r) → Π
+
S(< −r; 0 >,
√
2r) ⊂ R × E B(< 0; 0 >, r) ⊂
R × E
Π
+
= R
∗
+
× E
< −r; 0 >
|θ(< x
1
; x >)− < −r; 0 > || < x
1
; x > − < −r; 0 > | = 2r
2
,
θ(< x
1
; x >) =< −r; 0 > +
2r
2
< r + x
1
; x >
2
< r + x
1
; x >=
r
(r + x
1
)
2
+ x
2
< r
2
− x
2
1
− x
2
; 2rx > .
     Ïðîâåðèì ñâîéñòâî óâåëè÷åíèÿ ðàññòîÿíèÿ
                             2r2 |x|
                          r+ 2
                      k
          ρ(0, ψ(x)) = ln   r + x2 = k ln r + |x| = 2ρ(0, x).
                      2      2r2 |x|      r − |x|
                          r− 2
                            r + x2
Ïóñòü ãèïåðïëîñêîñòü â (B(0, r), ρ) èìååò óðàâíåíèå (n, x) = p, ãäå |n| = 1
è 0 ≤ p < r.
   Ïðè îòîáðàæåíèè ψ −1 ýòà ãèïåðïëîñêîñòü îòîáðàçèòñÿ â ãèïåðïëîñ-
êîñòü ïðîñòðàíñòâà (B(0, r), ρP ) ñ óðàâíåíèåì

                                2r2 (n, x)
                                           = p.
                                 r2 + x2
Ïðè p = 0 ýòî óðàâíåíèå (n, x) = 0 ãèïåðïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé 0.
   À ïðè 0 < p < r ýòî óðàâíåíèå p(x2 + r2 ) − 2r2 (n, x) = 0 ñôåðû â
åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E ñ âåêòîðîì íîðìàëè px − r2 n.
    òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ñôåðû ñî ñôåðîé S(0, r) ñ óðàâíåíèåì x2 =
r2 ïîëó÷èì
                    (px − r2 n, x) = pr2 − r2 (n, x) = 0,
ò.å. îíè ïåðåñåêàþòñÿ îðòîãîíàëüíî.
   Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå
                     √ èíâåðñèè θ : B(< 0; 0 >, r) → Π+ îòíîñèòåëü-
íî ñôåðû S(< −r; 0 >, 2r) ⊂ R × E íà îòêðûòûé øàð B(< 0; 0 >, r) ⊂
R × E è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â âåðõíåì îòêðûòîì ïîëóïðîñòðàíñòâå
Π+ = R∗+ × E.
   Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíâåðñèè: îñòàâëÿòü èíâàðèàíòíûìè îòêðûòûå ëó-
÷è ñ íà÷àëîì â òî÷êå < −r; 0 > è

        |θ(< x1 ; x >)− < −r; 0 > || < x1 ; x > − < −r; 0 > | = 2r2 ,

ïîëó÷èì ÿâíûé âèä èíâåðñèè
                                        2r2
        θ(< x1 ; x >) =< −r; 0 > +                 < r + x1 ; x >=
                                   < r + x1 ; x >2
                         r
                            2    2
                                   < r2 − x21 − x2 ; 2rx > .
                   (r + x1 ) + x
                                      20

Страницы