Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

r = 1
ψ
−1
(x) = ω(0, x) =
ch
ρ(0, x)
k
x
1 + ch
ρ(0, x)
k
,
ω(0, x) [0, x]
n = 2 x
1
= y x
2
= x z = x + iy
θ(z) = r
ri − z
ri + z
= r
r
2
− x
2
− y
2
+ 2rxi
x
2
+ (r + y)
2
.
ρ
P
|x| = r th
ρ
P
(0, x)
2k
.
Π
(B(0, k), ρ) (n, x) = p |n| = 1 0 ≤ p < k
y
Π
y
Π 0 ∈ g
−1
a
(Π) a = pn
ˆy
1
= k
2
y
1
− p
k
2
− py
1
, ˆy
2
= k
y
2
p
k
2
− p
2
k
2
− py
1
.
ˆy g
−1
a
(Π) (n, x) = 0
(n, ˆy + λn) = 0,
λ = −(n, ˆy)
g
−1
a
(Π) ˆy
b = ˆy − (n, ˆy)n = ˆy
2
.
  1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè r = 1
                                          ρ(0, x)
                                            ch    x
                    −1
                   ψ (x) = ω(0, x) =        k       ,
                                            ρ(0, x)
                                     1 + ch
                                                k
ãäå ω(0, x)  ðàäèóñ-âåêòîð ñåðåäèíû îòðåçêà [0, x].
  2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè n = 2, x1 = y , x2 = x è z = x + iy

                          ri − z    r2 − x2 − y 2 + 2rxi
                 θ(z) = r        =r                      .
                          ri + z       x2 + (r + y)2
  3. Äîêàçàòü, ÷òî ðàçëè÷íûå ôîðìóëû äëÿ ìåòðèêè ρP âåðíû.
  4. Äîêàæèòå, ÷òî â ìîäåëè Ïóàíêàðå â øàðå
                                        ρP (0, x)
                           |x| = r th             .
                                           2k
5. Ãèïåðïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî. Ðàññòîÿíèå îò
 òî÷êè äî ãèïåðïëîñêîñòè. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè íà
   ãèïåðïëîñêîñòü. Âåëè÷èíà óãëà ìåæäó ãèïåðïëîñêîñòÿìè.

  Ïóñòü ãèïåðïëîñêîñòü Π â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà â øàðå
(B(0, k), ρ) èìååò óðàâíåíèå (n, x) = p, ãäå |n| = 1 è 0 ≤ p < k .
   Íàéäåì ïðîåêöèþ yΠ òî÷êè y íà ýòó ãèïåðïëîñêîñòü. Ñíà÷àëà ïàðàë-
ëåëüíî ïåðåíåñåì ãèïåðïëîñêîñòü Π òàê, ÷òîáû 0 ∈ ga−1 (Π), ãäå a = pn.
                                                   p
                          y1 − p                 y2 k 2 − p 2
                ŷ1 = k 2 2      ,        ŷ2 = k 2           .
                         k − py1                   k − py1
Çàïèñûâàÿ óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðïëîñêîñòè è íîðìàëè, ïðîâåäåí-
íîé ÷åðåç òî÷êó ŷ ê ãèïåðïëîñêîñòè ga−1 (Π) ñ óðàâíåíèåì (n, x) = 0

                             (n, ŷ + λn) = 0,

íàéäåì λ = −(n, ŷ). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ-âåêòîð îñíîâàíèÿ ïåðïåíäè-
êóëÿðà íà ãèïåðïëîñêîñòè ga−1 (Π), ïðîâåäåííîãî èç òî÷êè ŷ , èìååò âèä

                          b = ŷ − (n, ŷ)n = ŷ2 .

                                     22

Страницы