Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

b
y
Π
y
Π
= g
a
(b) :
ˆ
b
1
= k
2
b
1
+ p
k
2
+ pb
1
= p,
ˆ
b
2
= k
b
2
p
k
2
− p
2
k
2
+ pb
1
=
ˆy
2
p
k
2
− p
2
k
=
y
2
(k
2
− p
2
)
k
2
− py
1
=
(y − (n, y)n)(k
2
− p
2
)
k
2
− p(n, y)
.
y
Π
= pn +
(y − (n, y)n)(k
2
− p
2
)
k
2
− p(n, y)
=
(k
2
− p
2
)y + k
2
(p − (n, y))n
k
2
− p(n, y)
.
y Π
ρ(y, y
Π
) = kArch
k
2
− (y, y
Π
)
p
k
2
− y
2
p
k
2
− y
2
Π
=
kArch
k
2
(k
2
− p(n, y)) − (k
2
− p
2
)y
2
− k
2
(p − (n, y))(n, y)
p
k
2
− y
2
p
k
2
(k
2
− p(n, y))
2
− ((k
2
− p
2
)y + k
2
(p − (n, y))n)
2
=
kArch
(k
2
− p
2
)(k
2
− y
2
) + k
2
(p − (n, y))
2
p
k
2
− y
2
p
(k
2
− p
2
)((k
2
− p
2
)(k
2
− y
2
) + k
2
(p − (n, y))
2
)
=
kArch
s
1 +
k
2
(p − (n, y))
2
(k
2
− y
2
)(k
2
− p
2
)
.
ρ(y, y
Π
) = kArch
s
1 +
k
2
(p − (n, y))
2
(k
2
− y
2
)(k
2
− p
2
)
,
sh
ρ(y, y
Π
)
k
=
k|(n, y) − p|
p
k
2
− y
2
p
k
2
− p
2
=
ch
p
l
k
|(n, y) − k th
p
l
k
|
p
k
2
− y
2
.
g
a
: (B(0, k), ρ) →
(B(0, k), ρ) a = pe
ˆx = k
2
(x
1
+ p)e
k
2
+ px
1
+ k
x
2
p
k
2
− p
2
k
2
+ px
1
=
Îñóùåñòâèì îáðàòíûé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòîãî îñíîâàíèÿ b, ÷òîáû
ïîëó÷èòü èñêîìûé ðàäèóñ-âåêòîð îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè òî÷êè y íà ãè-
ïåðïëîñêîñòü Π.
                                                     b1 + p
                       yΠ = ga (b) :    b̂1 = k 2             = p,
                                                    k 2 + pb1
          p              p
        b2 k 2 − p2   ŷ2 k 2 − p2  y2 (k 2 − p2 ) (y − (n, y)n)(k 2 − p2 )
 b̂2 = k 2          =              = 2            =                         .
          k + pb1          k         k − py1            k 2 − p(n, y)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì
               (y − (n, y)n)(k 2 − p2 ) (k 2 − p2 )y + k 2 (p − (n, y))n
     yΠ = pn +                         =                                 .
                    k 2 − p(n, y)                 k 2 − p(n, y)
Íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè y äî ãèïåðïëîñêîñòè Π.
                                         k 2 − (y, yΠ )
                    ρ(y, yΠ ) = kArch p         p          =
                                       k 2 − y 2 k 2 − yΠ2
             k 2 (k 2 − p(n, y)) − (k 2 − p2 )y 2 − k 2 (p − (n, y))(n, y)
  kArch p          p                                                          =
         k 2 − y 2 k 2 (k 2 − p(n, y))2 − ((k 2 − p2 )y + k 2 (p − (n, y))n)2
                         (k 2 − p2 )(k 2 − y 2 ) + k 2 (p − (n, y))2
    kArch p             p                                                          =
               k 2 − y 2 (k 2 − p2 )((k 2 − p2 )(k 2 − y 2 ) + k 2 (p − (n, y))2 )
                                s
                                           k 2 (p − (n, y))2
                         kArch 1 + 2                           .
                                         (k − y 2 )(k 2 − p2 )
Òàêèì îáðàçîì, âåðíû ôîðìóëû
                                       s
                                                  k 2 (p − (n, y))2
                  ρ(y, yΠ ) = kArch       1+                            ,
                                                (k 2 − y 2 )(k 2 − p2 )
                                                           pl               pl
             ρ(y, yΠ )     k|(n, y) − p|              ch      |(n, y) − k th |
        sh             =p          p         =             k p              k .
                k         k 2 − y 2 k 2 − p2                       2
                                                                 k −y   2

Çàïèøåì ôîðìóëó äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ga : (B(0, k), ρ) →
(B(0, k), ρ) íà âåêòîð a = pe â èíîé ôîðìå
                                                p
                               (x 1 + p)e   x 2  k 2 − p2
                       x̂ = k 2 2         +k 2            =
                               k + px1        k + px1
                                           23

Страницы