Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k[k((a, x) + a
2
)a + (a
2
x − (a, x)a)
√
k
2
− a
2
]
a
2
(k
2
+ (a, x))
.
Π (n, ˆx −x
0
) = 0 |n| = 1
a = −x
0
(n, k[k((x
0
, x)+x
2
0
)x
0
+(x
2
0
x−(x
0
, x)x
0
)
q
k
2
− x
2
0
]−x
0
x
2
0
(k
2
+(x
0
, x))) = 0 ⇔
(kx
2
0
n + (n, x
0
)(
q
k
2
− x
2
0
− k)x
0
, x) = 0.
x
0
Π
Π
1
(n
1
, ˆx − x
0
) = 0 |n
1
| = 1
cosϕ =
|(kx
2
0
n + (n, x
0
)(
p
k
2
− x
2
0
− k)x
0
, kx
2
0
n
1
+ (n
1
, x
0
)(
p
k
2
− x
2
0
− k)x
0
)|
|kx
2
0
n + (n, x
0
)(
p
k
2
− x
2
0
− k)x
0
||kx
2
0
n
1
+ (n
1
, x
0
)(
p
k
2
− x
2
0
− k)x
0
|
=
|k
2
(n, n
1
) − (n, x
0
)(n
1
, x
0
)|
p
k
2
− (n, x
0
)
2
p
k
2
− (n
1
, x
0
)
2
.
(n, x) = p, (n
1
, x) = p
1
,
|n| = |n
1
| = 1 0 ≤ p , p
1
< k
cosϕ =
|k
2
(n, n
1
) − pp
1
|
p
k
2
− p
2
p
k
2
− p
2
1
.
1 1 0
k
2
(n, n
1
) − pp
1
= 0.
                                                    √
               k[k((a, x) + a2 )a + (a2 x − (a, x)a) k 2 − a2 ]
                                                                .
                               a2 (k 2 + (a, x))
Ðàññìîòðèì ãèïåðïëîñêîñòü Π ñ óðàâíåíèåì (n, x̂ − x0 ) = 0, ãäå |n| = 1, è
ïåðåíåñåì åå ïàðàëëåëüíî íà âåêòîð a = −x0 .
   Òîãäà îíà îòîáðàçèòñÿ â ãèïåðïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð øàðà
è èìåþùóþ óðàâíåíèå
                                              q
(n, k[k((x0 , x)+x20 )x0 +(x20 x−(x0 , x)x0 )  k 2 − x20 ]−x0 x20 (k 2 +(x0 , x))) = 0 ⇔
                                         q
                    (kx20 n   + (n, x0 )( k 2 − x20 − k)x0 , x) = 0.
Âû÷èñëèì âåëè÷èíó óãëà, îáðàçîâàííîãî â òî÷êå x0 ãèïåðïëîñêîñòüþ Π è
ãèïåðïëîñêîñòüþ Π1 ñ óðàâíåíèåì (n1 , x̂ − x0 ) = 0, ãäå |n1 | = 1.
  Ïîñëå àíàëîãè÷íîãî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âòîðîé ãèïåðïëîñêîñòè
ïîëó÷èì
                           p                                        p
       |(kx20 n + (n, x0 )( k 2 − x20 − k)x0 , kx20 n1 + (n1 , x0 )( k 2 − x20 − k)x0 )|
cosϕ =                     p                                        p                    =
        |kx20 n + (n, x0 )( k 2 − x20 − k)x0 ||kx20 n1 + (n1 , x0 )( k 2 − x20 − k)x0 |
                      |k 2 (n, n1 ) − (n, x0 )(n1 , x0 )|
                    p                  p                  .
                       k 2 − (n, x0 )2 k 2 − (n1 , x0 )2
Åñëè ãèïåðïëîñêîñòè çàäàíû óðàâíåíèÿìè
                              (n, x) = p,        (n1 , x) = p1 ,
ãäå |n| = |n1 | = 1 è 0 ≤ p , p1 < k , òî, î÷åâèäíî,
                                      |k 2 (n, n1 ) − pp1 |
                              cosϕ = p           p          .
                                       k 2 − p2 k 2 − p21
Ýòè ãèïåðïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ, ðàñõîäÿòñÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíû, åñëè
ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ìåíüøå 1, áîëüøå 1, ðàâíà 0 ñîîòâåòñòâåííî.
  Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ãèïåðïëîñêîñòåé èìååò
âèä
                                  k 2 (n, n1 ) − pp1 = 0.

  6. Ðèìàíîâû ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëÿõ
      ÁåëüòðàìèÊëåéíà, Ïóàíêàðå â øàðå è â îòêðûòîì
            ïîëóïðîñòðàíñòâå. Äëèíà îêðóæíîñòè.
                                            24

Страницы