Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(f
−1
◦θ
−1
)(< x
1
; x >) =
r
r
2
− (θ(< x
1
; x >))
2
< r
2
+(θ(< x
1
; x >))
2
; 2rθ(< x
1
; x >) >=
1
2x
1
< r
2
+ x
2
1
+ x
2
; r
2
− x
2
1
− x
2
; 2rx > , < dˆx
0
; dˆx
1
; dˆx >=
1
2x
2
1
< (x
2
1
−r
2
−x
2
)dx
1
+2x
1
(x, dx); (−x
2
1
−r
2
+x
2
)dx
1
−2x
1
(x, dx); 2r(x
1
dx−xdx
1
) > .
dl
2
= −dˆx
2
0
+ dˆx
2
1
+ dˆx
2
=
1
4x
4
1
(−(x
2
1
− r
2
− x
2
)
2
dx
2
1
− 4x
2
1
(x, dx)
2
−
4x
1
dx
1
(x, dx)(x
2
1
−r
2
−x
2
)+(−x
2
1
−r
2
+x
2
)
2
dx
2
1
−4x
1
dx
1
(x, dx)(−x
2
1
−r
2
+x
2
)+
4x
2
1
(x, dx)
2
+ 4r
2
(x
2
1
dx
2
− 2(x, dx)x
1
dx
1
+ x
2
dx
2
1
) =
r
2
(dx
2
1
+ dx
2
)
x
2
1
.
dl
2
=
r
2
(dx
2
1
+ dx
2
)
x
2
1
.
n = 2
< x; y >
dl
2
=
r
2
((r
2
− x
2
− y
2
)(dx
2
+ dy
2
) + (xdx + ydy)
2
)
(r
2
− x
2
− y
2
)
2
=
r
2
((r
2
− y
2
)dx
2
+ 2xydxdy + (r
2
− x
2
)dy
2
)
(r
2
− x
2
− y
2
)
2
.
dl
2
=
4r
4
(dx
2
+ dy
2
)
(r
2
− x
2
− y
2
)
2
.
Íàéäåì ñíà÷àëà åå ÿâíûé âèä è äèôôåðåíöèàë, èñïîëüçóÿ íàéäåííûå ðà-
íåå âûðàæåíèÿ,
                                     r
(f −1 ◦θ−1 )(< x1 ; x >) =    2                 2
                                                  < r2 +(θ(< x1 ; x >))2 ; 2rθ(< x1 ; x >) >=
                             r − (θ(< x1 ; x >))
        1
           < r2 + x21 + x2 ; r2 − x21 − x2 ; 2rx > ,         < dx̂0 ; dx̂1 ; dx̂ >=
       2x1
 1
   2 < (x21 −r2 −x2 )dx1 +2x1 (x, dx); (−x21 −r2 +x2 )dx1 −2x1 (x, dx); 2r(x1 dx−xdx1 ) > .
2x1
Òîãäà
                                       1
    dl2 = −dx̂20 + dx̂21 + dx̂2 =        4 (−(x21 − r2 − x2 )2 dx21 − 4x21 (x, dx)2 −
                                      4x1

4x1 dx1 (x, dx)(x21 −r2 −x2 )+(−x21 −r2 +x2 )2 dx21 −4x1 dx1 (x, dx)(−x21 −r2 +x2 )+
                                                                   r2 (dx21 + dx2 )
    4x21 (x, dx)2 + 4r2 (x21 dx2 − 2(x, dx)x1 dx1 + x2 dx21 ) =                     .
                                                                          x21
Ñëåäîâàòåëüíî, ðèìàíîâà ìåòðèêà â ìîäåëè Ïóàíêàðå â îòêðûòîì
ïîëóïðîñòðàíñòâå èìååò âèä
                                  2  r2 (dx21 + dx2 )
                                dl =                  .
                                            x21
Ïðèâåäåì ýòè ðèìàíîâû ìåòðèêè ïðè n = 2 â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ
< x; y >.
  Ðèìàíîâà ìåòðèêà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Áåëüòðàìè
Êëåéíà èìååò âèä

              2  r2 ((r2 − x2 − y 2 )(dx2 + dy 2 ) + (xdx + ydy)2 )
            dl =                                                    =
                                  (r2 − x2 − y 2 )2
               r2 ((r2 − y 2 )dx2 + 2xydxdy + (r2 − x2 )dy 2 )
                                                               .
                                 (r2 − x2 − y 2 )2
Ðèìàíîâà ìåòðèêà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Ïóàíêàðå â îòêðû-
òîì êðóãå èìååò âèä
                               2    4r4 (dx2 + dy 2 )
                            dl = 2                    .
                                    (r − x2 − y 2 )2


                                            26

Страницы