Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

dl
2
=
r
2
(dx
2
+ dy
2
)
y
2
.
R
l
(ρ, ϕ)
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ;
dl
2
=
r
2
((r
2
− x
2
− y
2
)(dx
2
+ dy
2
) + (xdx + ydy)
2
)
(r
2
− x
2
− y
2
)
2
=
r
2
((r
2
− ρ
2
)(dρ
2
+ ρ
2
dϕ
2
) + ρ
2
dρ
2
)
(r
2
− ρ
2
)
2
.
ρ = R
ρ = r th
R
l
k
.
l = r
2π
Z
0
Rdϕ
√
r
2
− R
2
=
2πrR
√
r
2
− R
2
=
2πr
2
th
R
l
k
r ch
−1
R
l
k
= 2πr sh
R
l
k
.
dl
2
=
4r
4
(dρ
2
+ ρ
2
dϕ
2
)
(r
2
− ρ
2
)
2
.
ρ = R = r th
R
l
2k
l = 2r
2
2π
Z
0
Rdϕ
r
2
− R
2
=
4πr
2
R
r
2
− R
2
=
4πr
3
th
R
l
2k
r
2
− r
2
th
2
R
l
2k
= 4πr sh
R
l
2k
ch
R
l
2k
= 2πr sh
R
l
k
.
Ðèìàíîâà ìåòðèêà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Ïóàíêàðå â âåðõíåé
îòêðûòîé ïîëóïëîñêîñòè èìååò âèä
                                              r2 (dx2 + dy 2 )
                                      dl2 =                    .
                                                    y2
Ïðèìåðû.
  1. Íàéäåì äëèíó îêðóæíîñòè ðàäèóñà Rl ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, èñ-
ïîëüçóÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (ρ, ϕ) è ìîäåëü ÁåëüòðàìèÊëåéíà.
  Ñíà÷àëà çàïèøåì ðèìàíîâó ìåòðèêó â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà, èñ-
ïîëüçóÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû,

                                 x = ρ cos ϕ,          y = ρ sin ϕ;
                         r2 ((r2 − x2 − y 2 )(dx2 + dy 2 ) + (xdx + ydy)2 )
                dl2 =                                                       =
                                          (r2 − x2 − y 2 )2
                            r2 ((r2 − ρ2 )(dρ2 + ρ2 dϕ2 ) + ρ2 dρ2 )
                                                                     .
                                           (r2 − ρ2 )2
  Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè â åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè èìååò âèä ρ = R, à â
ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî èìååò âèä ρ = r th Rkl . Òîãäà äëèíà îêðóæíîñòè
èìååò âèä

                   Z2π                         Rl
                  Rdϕ        2πrR                         2πr2 th
        l=r √             =√          =         k = 2πr sh Rl .
                 r 2 − R2    r 2 − R2       −1 Rl          k
             0                          r ch
                                               k
2. Ïðîâåäåì ðàññ÷åò òîé æå äëèíû â ìîäåëè Ïóàíêàðå â îòêðûòîì êðóãå.
  Ñíà÷àëà çàïèøåì ðèìàíîâó ìåòðèêó â ìîäåëè Ïóàíêàðå â îòêðûòîì
êðóãå, èñïîëüçóÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû,
                                          4r4 (dρ2 + ρ2 dϕ2 )
                                  dl2 =                       .
                                              (r2 − ρ2 )2
Òîãäà äëèíà îêðóæíîñòè ñ óðàâíåíèåì ρ = R = r th                      Rl
                                                                      2k   èìååò âèä

          Z2π                                   Rl
                   Rdϕ      4πr R 2           4πr3 th
l = 2r2                  =          =           2k = 4πr sh Rl ch Rl = 2πr sh Rl .
                r 2 − R2   r 2 − R2               Rl        2k    2k          k
          0                           r2 − r2 th2
                                                  2k
                                                  27

Страницы