Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

r = k
l = 2πk sh
R
l
k
.
k
x = k th
x
l
k
, y = k th
y
l
k
(ρ, ϕ)
< ρ
l
= kArth
ρ
k
; ϕ >
< x
l
; ρ(< x; 0 >, < x; y >) >
g = g
11
g
22
− g
2
12
=
k
4
((k
2
− y
2
)(k
2
− x
2
) − x
2
y
2
)
(k
2
− x
2
− y
2
)
4
=
k
6
(k
2
− x
2
− y
2
)
3
.
dS =
k
3
dxdy
(k
2
− x
2
− y
2
)
3/2
.
R = k th
R
l
k
S = k
3
2π
Z
0
dϕ
R
Z
0
ρdρ
(k
2
− ρ
2
)
3/2
=
2πk
3
p
k
2
− ρ
2
|
R
0
= 2πk
2
(
k
√
k
2
− R
2
− 1) =
Îáû÷íî ôîðìóëó äëèíû îêðóæíîñòè ïðèâîäÿò ïðè r = k
                                                         Rl
                                          l = 2πk sh        .
                                                         k
     7. Êîîðäèíàòû Ëîáà÷åâñêîãî, Áåëüòðàìè è ïîëÿðíûå
  êîîðäèíàòû â ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî. Ýëåìåíò ïëîùàäè â
   êîîðäèíàòàõ Áåëüòðàìè. Ïëîùàäü êðóãà è òðåóãîëüíèêà.
                     Ïîëþñ è ïîëÿðà.

   1. Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà â êðóãå ðàäèóñà
k ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî
                                      yl     xl
                                  x = k th      ,        y = k th
                                      k      k
íàçûâàþòñÿ áåëüòðàìèåâûìè êîîðäèíàòàìè.
  Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (ρ, ϕ) íàçûâàþòñÿ áåëüòðà-
ìèåâûìè ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè.
  2. Êîîðäèíàòû < ρl = kArth kρ ; ϕ > íàçûâàþòñÿ ë-ïîëÿðíûìè êîîð-
äèíàòàìè.
  3. Êîîðäèíàòû < xl ; ρ(< x; 0 >, < x; y >) > íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-
ìè Ëîáà÷åâñêîãî.
   ×òîáû íàéòè ýëåìåíò ïëîùàäè â êîîðäèíàòàõ Áåëüòðàìè, íàéäåì îïðå-
äåëèòåëü ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà

                         2      k 4 ((k 2 − y 2 )(k 2 − x2 ) − x2 y 2 )       k6
   g = g11 g22 −        g12   =                                         = 2               .
                                          (k 2 − x2 − y 2 )4             (k − x2 − y 2 )3
Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíò ïëîùàäè â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà â êîîðäè-
íàòàõ Áåëüòðàìè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
                                                 k 3 dxdy
                                    dS =                        .
                                           (k 2 − x2 − y 2 )3/2
Íàéäåì ïëîùàäü êðóãà ðàäèóñà R = k th                      k ,
                                                           Rl
                                                                 èñïîëüçóÿ áåëüòðàìèåâû ïî-
ëÿðíûå êîîðäèíàòû.
             Z2π        ZR
         3                        ρdρ           2πk 3 R          2        k
   S=k             dϕ                       =           |0 = 2πk   ( √          − 1) =
                             (k 2 − ρ2 )3/2
                                              p
                                               k 2 − ρ2                k 2 − R2
             0          0

                                                    28

Страницы