ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x
1
= cx
2
,
c < cx
2
; x
2
; y >
<
√
1 + c
2
x
2
; 0; y >
ρ
Π
+
(< cx
2
; x
2
; y >, <
p
1 + c
2
x
2
; 0; y >) = kArch
c
2
x
2
2
+ (1 + c
2
)x
2
2
+ x
2
2
2c
√
1 + c
2
x
2
2
=
kArch
√
1 + c
2
c
= h
l
.
dl
2
=
r
2
(dx
2
1
+ dx
2
)
x
2
1
dl
2
=
r
2
((1 + c
2
)dx
2
2
+ dy
2
)
c
2
x
2
2
.
ˆx
2
= x
2
, ˆy =
y
√
1 + c
2
,
dl
2
=
R
2
(dˆx
2
2
+ dˆy
2
)
ˆx
2
2
,
R =
r
√
1+c
2
c
< ζ; 0 >
k
2
− ζ
2
= µ
2
(ζ −p)
2
⇒ µ
2
=
k
2
− ζ
2
(ζ −p)
2
.
Äîêàæåì, ÷òî â ìîäåëè Ïóàíêàðå â åâêëèäîâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå óðàâ-
íåíèå ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè c ýòîé áàçîé èìååò âèä
x1 = cx2 ,
ãäå c ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà.√Äåéñòâèòåëüíî, òî÷êà < cx2 ; x2 ; y >
èìååò îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ < 1 + c2 x2 ; 0; y > íà áàçå. Òîãäà
p c2 x22 + (1 + c2 )x22 + x22
ρΠ+ (< cx2 ; x2 ; y >, < 1+ c2 x2 ; 0; y >) = kArch √ =
2c 1 + c2 x22
√
1 + c2
kArch = hl .
c
Ðèìàíîâà ìåòðèêà
r2 (dx21 + dx2 )
2
dl =
x21
â äàííîé ìîäåëè èíäóöèðóåò íà ýòîé ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè ðèìà-
íîâó ìåòðèêó
r2 ((1 + c2 )dx22 + dy 2 )
dl2 = .
c2 x22
Ñäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèå
y
x̂2 = x2 , ŷ = √ ,
1 + c2
ïîëó÷èì íà ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè ðèìàíîâó ìåòðèêó ïðîñòðàíñòâà
Ëîáà÷åâñêîãî
2 R2 (dx̂22 + dŷ 2 )
dl = ,
x̂22
√
r 1+c2
ãäå R = c .
Îðèñôåðó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ýêâèäè-
ñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè ïðè óñëîâèè, ÷òî åå áàçà íåîãðàíè÷åííî óäàëÿåòñÿ
îò ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè, îñòàâàÿñü ïåðïåí-
äèêóëÿðíîé îñè ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó.
Ïóñòü < ζ; 0 > ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè.
Òîãäà
2 2 2 k2 − ζ 2
2 2
k − ζ = µ (ζ − p) ⇒ µ = .
(ζ − p)2
36
