Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

< x
1
; 0 >
dl
2
=
r
2
(dx
2
1
+ dx
2
)
x
2
1
dl
2
=
r
2
dx
2
c
2
.
ˆx =
rx
c
,
dl
2
= dˆx
2
.
h
l
(n, x) = p
sh
h
l
k
=
ch
p
l
k
|(n, x) − k th
p
l
k
|
√
k
2
− x
2
.
k
2
− x
2
= µ
2
((n, x) − k th
p
l
k
)
2
,
µ
2
=
ch
2
p
l
k
sh
2
h
l
k
.
n < 1; 0 > y
1
= p(= k th
p
l
k
)
k
2
− y
2
1
− y
2
= µ
2
(y
1
− p)
2
.
ïàðàëëåëüíûõ îñè < x1 ; 0 >. Òîãäà ðèìàíîâà ìåòðèêà

                              2  r2 (dx21 + dx2 )
                            dl =
                                        x21
â äàííîé ìîäåëè èíäóöèðóåò íà îðèñôåðå ðèìàíîâó ìåòðèêó

                                    2  r2 dx2
                                  dl =        .
                                         c2
Ñäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèå
                                rx
                                    x̂ =
                                    ,
                                 c
ïîëó÷èì íà îðèñôåðå ñòàíäàðòíóþ ðèìàíîâó ìåòðèêó åâêëèäîâà ïðî-
ñòðàíñòâà
                           dl2 = dx̂2 .

  Ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòüþ (â äâóìåðíîì ñëó÷àå ýêâèäèñòàí-
òîé) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî, ðàâ-
íîóäàëåííûõ îò ôèêñèðîâàííîé ãèïåðïëîñêîñòè (áàçû ýêâèäèñòàíòû).
   Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ïîñòîÿííîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ýêâèäèñòàíòíîé
ïîâåðõíîñòè äî åå áàçû (âûñîòà ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè) åñòü hl
è (n, x) = p  óðàâíåíèå áàçû. Òîãäà óðàâíåíèå ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõ-
íîñòè èìååò âèä
                                   pl                   pl
                          hl   ch     |(n, x)   − k th     |
                      sh     =     k   √                k    .
                          k               k 2 − x2
Ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå
                                                       pl
                      k 2 − x2 = µ2 ((n, x) − k th )2 ,
                                                       k
ãäå
                                             pl
                                        ch2
                                µ2 =          k .
                                             hl
                                       sh2
                                              k
Ñíîâà, èñïîëüçóÿ äåéñòâèå îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà, ïîëó÷èì äëÿ âåê-
                                                               pl
òîðà n âèä < 1; 0 >, à äëÿ áàçû óðàâíåíèå y1 = p(= k th ).
                                                               k
   Óðàâíåíèå ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè ïðèìåò âèä

                        k 2 − y12 − y 2 = µ2 (y1 − p)2 .

                                        34

Страницы