Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a η < k; 0 > < ζ; 0 >
k
2
− y
2
1
− y
2
= ˆµ
2
(k − y
1
)
2
,
ˆµ
2
= k
2
µ
2
=
k+ζ
k−ζ
.
y
1
−
kˆµ
2
ˆµ
2
+ 1
2
k
2
(ˆµ
2
+ 1)
2
+
y
2
k
2
ˆµ
2
+ 1
= 1.
y
1
−
k + ζ
2
2
(k − ζ)
2
4
+
y
2
k(k − ζ)
2
= 1.
<
k+ζ
2
; 0 > S(0, k)
x
1
= c,
c
Ñíîâà, èñïîëüçóÿ äåéñòâèå îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà, ïîëó÷èì äëÿ âåê-
òîðîâ a, η âèä < k; 0 > è < ζ; 0 > ñîîòâåòñòâåííî.
   Óðàâíåíèå îðèñôåðû ïðèìåò âèä

                              k 2 − y12 − y 2 = µ̂2 (k − y1 )2 ,
                     k+ζ
ãäå µ̂2 = k 2 µ2 =   k−ζ   . Ïðèâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
                                           2
                                     k µ̂2
                            
                             y1 − 2
                                   µ̂ + 1          y2
                                              +         = 1.
                                   k2              k2
                               (µ̂2 + 1)2       µ̂2 + 1
Ýòî óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ
                                       2
                                  k+ζ
                             y1 −
                                    2           y2
                                           +          = 1.
                               (k − ζ)2      k(k − ζ)
                                  4             2
Òàêèì îáðàçîì, îðèñôåðà ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè
ÁåëüòðàìèÊëåéíà èçîáðàæàåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ ñ åâêëèäî-
âûì öåíòðîì < k+ζ
               2 ; 0 >, êàñàþùèìñÿ â îäíîé òî÷êå ñôåðû S(0, k).

   Ýëëèïòè÷åñêèé ïó÷îê ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð ñôåðû, ïåðåé-
äåò ïðè óäàëåíèè ýòîãî öåíòðà íà àáñîëþò â òàê íàçûâàåìûé ïàðàáîëè-
÷åñêèé ïó÷îê ïðÿìûõ ñ öåíòðîì íà àáñîëþòå.
   Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûìè òðàåêòîðèÿìè ïàðàáîëè÷åñêîãî ïó÷êà
ïðÿìûõ ÿâëÿþòñÿ îðèñôåðû ñ îáùåé òî÷êîé êàñàíèÿ â öåíòðå ïàðàáîëè-
÷åñêîãî ïó÷êà.
   Íà îðèñôåðå èíäóöèðóåòñÿ åâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ.
   Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â ìîäåëè Ïóàíêàðå â åâêëèäîâîì ïîëóïðî-
ñòðàíñòâå óðàâíåíèå îðèñôåðû ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

                                          x1 = c,

ãäå c  ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Ïàðàáîëè÷åñêèé ïó÷îê ïðÿìûõ, îð-
òîãîíàëüíûõ ýòîé îðèñôåðå, ìîäåëèðóåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ïó÷êîì ëó÷åé

                                             33

Страницы