Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x x =< y
1
; y >
a < b; 0 >
k
2
− y
2
1
− y
2
= µ
2
(k
2
− by
1
)
2
, µ
2
=
1
ch
2
r
l
k
(k
2
− b
2
)
y
1
−
k
2
µ
2
b
b
2
µ
2
+ 1
2
k
2
(1 − µ
2
(k
2
− b
2
))
(b
2
µ
2
+ 1)
2
+
y
2
k
2
(1 − µ
2
(k
2
− b
2
))
b
2
µ
2
+ 1
= 1.
S(< b; 0 >, r
l
)
<
k
2
µ
2
b
b
2
µ
2
+1
; 0 >
η S(a, r
l
)
k
2
− x
2
= µ
2
(k
2
− (a, x))
2
.
µ
2
=
k
2
− η
2
(k
2
− (a, η))
2
.
S(0, k)
a
2
= k
2
k
2
− x
2
= µ
2
(k
2
− (a, x))
2
, a
2
= k
2
.
Ïðåäñòàâèì x â âèäå x =< y1 ; y > è, èñïîëüçóÿ äåéñòâèå îðòîãîíàëüíîãî
îïåðàòîðà, ïåðåéäåì îò âåêòîðà a ê âåêòîðó < b; 0 >. Òîãäà íàøå óðàâíå-
íèå ïðèìåò âèä
                                                                      1
          k 2 − y12 − y 2 = µ2 (k 2 − by1 )2 ,       µ2 =
                                                             ch2 rkl (k 2   − b2 )
Ïðèâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
                                   2
                          k 2 µ2 b
               
                  y1 − 2 2
                        b µ +1                   y2
                                       + 2                     = 1.
              k 2 (1 − µ2 (k 2 − b2 ))  k (1 − µ2 (k 2 − b2 ))
                    (b2 µ2 + 1)2             b2 µ2 + 1
Òàêèì îáðàçîì, ñôåðà ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî S(< b; 0 >, rl ) â ìîäåëè
ÁåëüòðàìèÊëåéíà èçîáðàæàåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ ñ åâêëèäîâûì
              2 2
öåíòðîì < bk2 µµ2 +1
                   b
                     ; 0 >.
  Ýëëèïòè÷åñêèì ïó÷êîì ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî íà-
çûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷-
êó (öåíòð ýëëèïòè÷åñêîãî ïó÷êà).
  Î÷åâèäíî, ÷òî îðòîãîíàëüíûìè òðàåêòîðèÿìè ýëëèïòè÷åñêîãî ïó÷êà
ïðÿìûõ ÿâëÿþòñÿ ñôåðû ñ îáùèì öåíòðîì â öåíòðå ýëëèïòè÷åñêîãî ïó÷êà.
  Îðèñôåðîé (â äâóìåðíîì ñëó÷àå îðèöèêëîì) íàçûâàåòñÿ ïðåäåëü-
íîå ïîëîæåíèå ñôåðû ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî ïðè óñëîâèè, ÷òî åå
öåíòð íåîãðàíè÷åííî óäàëÿåòñÿ îò ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ýòîé ñôåðû ïî
äèàìåòðó, ïðîõîäÿùåìó ÷åðåç ýòó òî÷êó.
  Ïóñòü η ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà ñôåðû S(a, rl ) ñ óðàâíåíèåì

                           k 2 − x2 = µ2 (k 2 − (a, x))2 .
Òîãäà
                                  k2 − η2
                               µ2 =           .
                              (k 2 − (a, η))2
Ïîñëå óäàëåíèÿ öåíòðà îí çàéìåò ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå íà ñôåðå S(0, k),
ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ a2 = k 2 . Ñëåäîâàòåëüíî,
óðàâíåíèÿ îðèñôåðû èìåþò âèä

                   k 2 − x2 = µ2 (k 2 − (a, x))2 ,          a2 = k 2 .

                                          32

Страницы