ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
y
1
−
pµ
2
µ
2
+ 1
2
k
2
(µ
2
+ 1) − µ
2
p
2
(µ
2
+ 1)
2
+
y
2
k
2
(µ
2
+ 1) − µ
2
p
2
µ
2
+ 1
= 1.
<
pµ
2
µ
2
+1
; 0 > S(0, k)
y
1
= p(= k th
p
l
k
)
p = 0
y
2
1
k
2
µ
2
+ 1
+
y
2
k
2
= 1,
k
2
µ
2
+1
= k
2
th
2
h
l
k
.
B[0, k]
< 0; x
2
; 0 > < x
1
; 0; 0 >
x
2
= 0
Ïðèâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
2
pµ2
y1 − 2
µ +1 y2
+ 2 2 = 1.
k 2 (µ2 + 1) − µ2 p2 k (µ + 1) − µ2 p2
(µ2 + 1)2 µ2 + 1
Òàêèì îáðàçîì, ýêâèäèñòàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî
â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà èçîáðàæàåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ ñ åâ-
2
êëèäîâûì öåíòðîì < µpµ2 +1 ; 0 >, êàñàþùèìñÿ ñôåðû S(0, k) â òî÷êàõ åå
pl
ñå÷åíèÿ áàçîé ñ óðàâíåíèåì y1 = p(= k th).
k
Îñü âðàùåíèÿ ýòîãî ýëëèïñîèäà íàçûâàåòñÿ îñüþ ýêâèäèñòàíòíîé
ïîâåðõíîñòè.
Ïóñòü áàçà ñîäåðæèò öåíòð øàðà, òîãäà p = 0 è óðàâíåíèå ýêâèäèñòàíò-
íîé ïîâåðõíîñòè óïðîùàåòñÿ
y12 y2
+ = 1,
k2 k2
µ2 + 1
k2 hl
ãäå = k 2 th2 .  ýòîì ñëó÷àå ýêâèäèñòàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü îðòî-
µ2 +1 k
ãîíàëüíî ïåðåñåêàåò ïó÷îê ïðÿìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïî Åâêëèäó íîðìàëè
áàçû, ò.å. ïåðåñåêàþùèõñÿ â íåñîáñòâåííîé òî÷êå.
Îáùèé ñëó÷àé ïîëó÷àåòñÿ èç äàííîãî ë-ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì. Ðàñ-
ñìàòðèâàåìûé ïó÷îê ïåðåéäåò â ïó÷îê ïðÿìûõ, èìåþùèõ ïðè èõ ïðîäîë-
æåíèè îáùóþ òî÷êó (öåíòð ïó÷êà) âíå çàìêíóòîãî øàðà B[0, k].
Òàêîé ïó÷îê ïðÿìûõ â ñàìîì ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî íàçûâàåòñÿ
ãèïåðáîëè÷åñêèì ïó÷êîì ïðÿìûõ.
Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûìè òðàåêòîðèÿìè ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïó÷-
êà ïðÿìûõ ÿâëÿþòñÿ ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè ñ îáùåé áàçîé.
Ïóñòü â ìîäåëè Ïóàíêàðå â åâêëèäîâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå âûäåëåíî
íàïðàâëåíèå < 0; x2 ; 0 >, îðòîãîíàëüíîå íàïðàâëåíèþ < x1 ; 0; 0 >. Ðàñ-
ñìîòðèì â ýòîé ìîäåëè áàçó ñ óðàâíåíèåì x2 = 0.
35
