Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 1. Стариковская С.М. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.2 Волновое сопротивление и аналог закона
Ома для длинных линий.
Тема сегодняшнего семинара – распространение сигнала в длин-
ных линиях (линиях с распределенными параметрами). На про-
шлом семинаре мы получили математическое описание распро-
странения сигнала в длинной линии, то есть систему из двух
уравнений, описывающую изменение тока и напряжения по длине
однородной линии с распределенными параметрами при распро-
странении по ней сигнала:
−
∂U
∂x
= iR + L
∂i
∂t
(3.50)
−
∂i
∂x
= C
∂U
∂t
+ GU (3.51)
Найдем волновое сопротивление такой линии – величину, фор-
мально связывающую ток и напряжение в линии.
3.2.1 Волновое сопротивление длинной линии.
Пусть напряжение и ток в линии меняются по синусоидаль-
ному закону. Будем искать решения в виде Ie
jωt
; Ue
jωt
. Здесь
I = I
m
e
jϕ
i
/
√
2; U = U
m
e
jϕ
U
/
√
2. Подставим данные выражения
в уравнения (3.50), (3.51) и сократим на e
jωt
:
IR + LjωI = −
∂U
∂x
(3.52)
−
∂I
∂x
= CjωU + GU (3.53)
Перепишем их как
∂U
∂x
= −(R + Ljω)I (3.54)
∂I
∂x
= −(Cjω + G)U (3.55)
Продифференцируем первое из уравнений по x и подставим
получившееся значение ∂I/∂x во второе уравнение:
∂
2
U
∂x
2
= −(R + Ljω)
∂I
∂x
;
∂I
∂x
= −
∂
2
U
∂x
2
R + Ljω
(3.56)
∂
2
U
∂x
2
=(G + Cjω)(R + Ljω)U (3.57)
или
∂
2
U
∂x
2
= γ
2
U; γ =
(G + Cjω)(R + Ljω) (3.58)
35
3.2     Волновое сопротивление и аналог закона
        Ома для длинных линий.
Тема сегодняшнего семинара – распространение сигнала в длин-
ных линиях (линиях с распределенными параметрами). На про-
шлом семинаре мы получили математическое описание распро-
странения сигнала в длинной линии, то есть систему из двух
уравнений, описывающую изменение тока и напряжения по длине
однородной линии с распределенными параметрами при распро-
странении по ней сигнала:
                            ∂U          ∂i
                        −      = iR + L                      (3.50)
                            ∂x          ∂t
                      ∂i     ∂U
                       − =C      + GU                 (3.51)
                      ∂x     ∂t
  Найдем волновое сопротивление такой линии – величину, фор-
мально связывающую ток и напряжение в линии.

3.2.1   Волновое сопротивление длинной линии.
Пусть напряжение и ток в линии меняются по синусоидаль-
ному закону.√ Будем искать    решения
                              √       в виде Iejωt ; U ejωt . Здесь
        jϕi              jϕU
I = Im e / 2; U = Um e / 2. Подставим данные выражения
в уравнения (3.50), (3.51) и сократим на ejωt :
                                          ∂U
                       IR + LjωI = −                         (3.52)
                                          ∂x
                           ∂I
                       −      = CjωU + GU                    (3.53)
                           ∂x
  Перепишем их как
                       ∂U
                          = −(R + Ljω)I                      (3.54)
                       ∂x
                    ∂I
                       = −(Cjω + G)U               (3.55)
                    ∂x
  Продифференцируем первое из уравнений по x и подставим
получившееся значение ∂I/∂x во второе уравнение:
                                                   2
                                                 ∂ U
            ∂2U              ∂I          ∂I
                 = −(R + Ljω) ;             = − ∂x
                                                   2
               2
                                                             (3.56)
            ∂x               ∂x          ∂x    R + Ljω
                  ∂2U
                      = (G + Cjω)(R + Ljω)U                  (3.57)
                  ∂x2
  или

            ∂ 2U                 
                 = γ2U ;    γ=       (G + Cjω)(R + Ljω)      (3.58)
            ∂x2

                                          35

Страницы