Дидактические материалы к практическим занятиям по высшей математике по темам "Векторная алгебра и аналитическая геометрия" и "Кривые второго порядка". Степанова С.Б. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

уравнение прямой АВ у+2х-8=0 приведем к нормальному ви-
ду, определив нормирующий множитель μ:
μ
=
±+
=
+
=
11
12
1
5
22 22
AB
.
Нормальное уравнение прямой АВ будет иметь вид:
yx+−
=
28
5
0.
Следовательно,
h
yx
c
cc
=
+−
=
28
5
6
5
.
Задача 2. Даны точки А(1,0,1), В(-1,2,1), С(0,-1,-1).
Найти:
а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;
б) уравнение плоскости, проходящей через точку Д(-1,0,-2)
параллельно плоскости АВС;
в) расстояние от точки Д до плоскости АВС;
г) уравнение прямой АД;
д) угол между прямой АД и плоскостью АВС.
Решение: а) Уравнение плоскости, проходящей
через три
данные точки, имеет вид:
xx yy zz
xxyyzz
xxyyzz
−−−
−−−
−−−
=
111
111
111
222
333
0 ,
xyz−−−
−− − −
−−−−−
=
101
11 2 0 11
01 10 11
0
или
() ()xyz−
−−
−⋅
−
−−
+−
−
−−
=1
20
12
20
12
1
22
11
0
()() () ,
x
y
z
−
−
−
+
−
=
14 4 140
()() (),
x
y
z
−
−
−
+
−
=
11 110
x
y
z
+
−
=
0 - уравнение плоскости АВС, где
N
= (А,В,С)=
(1,1,-1).
б) используем уравнение плоскости, проходящей через
данную точку Д:
А(х-х
Д
)+В(у-у
Д
)+С(z-z
Д
)=0. Так как искомая плоскость па-
раллельна плоскости АВС, то нормальные векторы плоско-
стей должны быть коллинеарны, следовательно,
AB C
11 1
==
−
,
поэтому
1110120 10
⋅
+
+
⋅
−
−
⋅
+
=
+
−
−=()( )()
x
y
z
x
y
z или
в) приведем общее уравнение плоскости АВС к нормально-
му виду:
μ
=
±++
=
11
3
222
ABC
тогда
xyz+−−
=
1
3
0
-нормальное уравнение плоскости АВС.
Расстояние от точки Д до плоскости АВС будет равно
d
xyz
DDD
=
+−
=
3
1
3
. 
уравнение прямой АВ у+2х-8=0 приведем к нормальному ви-                     2   0       −2 0              −2 2
                                                                 ( x − 1)          − y⋅        + ( z − 1)       =0
ду, определив нормирующий множитель μ:                                      −1 − 2      −1 − 2            −1 −1
              1               1            1                     ( x − 1)( −4) − y 4 + ( z − 1)4 = 0,
   μ=                  =               =      .
          ± A2 + B 2        12 + 2 2        5                    ( x − 1)( −1) − y + ( z − 1)1 = 0,
Нормальное уравнение прямой АВ будет иметь вид:                  x + y − z = 0 - уравнение плоскости АВС, где N = (А,В,С)=
y + 2x − 8                                                       (1,1,-1).
           = 0.
     5
                                                                 б) используем уравнение плоскости, проходящей через
                           yc + 2 xc − 8   6                     данную точку Д:
Следовательно, hc =                      =    .
                                 5          5
                                                                 А(х-хД)+В(у-уД)+С(z-zД)=0. Так как искомая плоскость па-
Задача 2. Даны точки А(1,0,1), В(-1,2,1), С(0,-1,-1).
                                                                 раллельна плоскости АВС, то нормальные векторы плоско-
Найти:                                                           стей должны быть коллинеарны, следовательно,
а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;
                                                                 A B C
б) уравнение плоскости, проходящей через точку Д(-1,0,-2)         = =   , поэтому
                                                                 1 1 −1
параллельно плоскости АВС;                                       1⋅ ( x + 1) + 1⋅ ( y − 0) − 1⋅ ( z + 2) = 0 или x + y − z − 1 = 0
в) расстояние от точки Д до плоскости АВС;                       в) приведем общее уравнение плоскости АВС к нормально-
г) уравнение прямой АД;                                                                     1               1        x + y − z −1
                                                                 му виду: μ =                           =      тогда              =0
д) угол между прямой АД и плоскостью АВС.                                         ± A2 + B 2 + C 2           3             3
Решение: а) Уравнение плоскости, проходящей через три            -нормальное уравнение плоскости АВС.
данные точки, имеет вид:                                         Расстояние от точки Д до плоскости АВС будет равно
 x − x1      y − y1 z − z1              x −1 y − 0    z −1             xD + yD − zD   1
                                                                 d=                 =    .
x2 − x1     y2 − y1 z2 − z1 = 0 ,      − 1−1 2 − 0    1− 1 = 0               3         3
x3 − x1     y3 − y1 z3 − z1             0 − 1 − 1− 0 − 1− 1
или

Страницы