Дидактические материалы к практическим занятиям по высшей математике по темам "Векторная алгебра и аналитическая геометрия" и "Кривые второго порядка". Степанова С.Б. - 7 стр.

4. Как определяются проекции вектора на координатные                  Задача 2. Даны векторы
   оси?                                                               a =(1,-2,2), b =(2,1,2). Вычислить: 1) ( a , b ), 2)скалярное
5. Какой вектор называется нулевым ?                                  произведение векторов (2 a -3 b ) и ( a +2 b ), 3) проекцию
6. Дайте определение линейной комбинации системы векто-               вектора (2 a -3 b ) на вектор a , 4) угол между векторами a
   ров.
                                                                      и b.
7. Какая система векторов называется линейно зависимой ?
                                                                      Решение:
8. Какая система векторов называется базисной ?
9. Какие векторы образуют декартов базис ?
                                                                         ( )
                                                                      1. a, b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 2 − 2 + 4 = 4

10. Могут ли 3 вектора, лежащие на одной плоскости, обра-             2. 2a − 3b = (2 − 6,−4 − 3,4 − 6) = (−4,−7,−2)

   зовывать базис ?                                                      a + 2b = (1 + 4,−2 + 2,2 + 4) = (5,0,6)
                                                                         (2a − 3b, a + 2b) = −4 ⋅ 5 − 7 ⋅ 0 − 2 ⋅ 6 = −20 − 12 = −32
            2. Скалярное произведение двух векторов                                        (b,2a − 3b)
                                                                      3. прb (2a − 3b) =                 ,
Задача 1. Векторы a и b образуют угол                                                          b
     2π
ϕ=          и a = 2, b = 3 . Найти ( a , b ), ( a , a ), (3 a -2b ,   b = 4 + 1 + 4 = 3,
      3
                                                                                        2(−4) + 1(−7) + 2(−2)    19
a +2 b ).                                                             прb (2a − 3b) =                         =−
                                                                                                  3               3
             ( )
Решение: a, b = a ⋅ b cos ϕ = 2 ⋅ 3 ⋅ cos
                                                       2π
                                                        3
                                                          =                  ⎛ ∧ ⎞ ( a, b)
                                                                      4. cos⎜⎜ a, b ⎟⎟ =    =
                                                                                              4
                                                                                                =
                                                                                                  4
                                                                             ⎝       ⎠ a ⋅ b 3⋅3 9
          ⎛ 1⎞
= 2 ⋅ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ = −3 .        (a, a ) = a   2
                                                = 4.
                                                                              НУЖНО ЗНАТЬ:
          ⎝ 2⎠

(3a − 2b, a + 2b) = ⎛⎜⎝ 3 a   2
                                  + 6(a, b) − 2(b, a) − 4 b ⎞⎟ =
                                                           2

                                                             ⎠
                                                                      1. Определение скалярного произведения двух векторов.
                                                                      2. Свойства скалярного произведения.
      2                  2
= 3 a + 4(a, b) − 4 b = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ (−3) − 4 ⋅ 9 = −36