Неразрушающий контроль в производстве. Сударикова Е.В. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

86
4.2.5. Уравнения Колмогорова
Пусть в момент времени t система S находится в состоянии s
i
. Ве
роятность этого есть p
i
(t).
Вероятность того, что система, находящаяся в состоянии s
i
, за
элементарный промежуток времени (t, t + dt) перейдет в состояние s
j
,
есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно
событие потока, переводящего S из s
i
в s
j
. С точностью до бесконечно
малых высших порядков эта вероятность равна λ
ij
dt, где λ
ij
– интен
сивность соответствующих потоков событий (как только происхо
дит первое событие в потоке с интенсивностью λ
ij
, система из состоя
ния s
i
скачком переходит в s
j
).
Потоком вероятности перехода из состояния s
i
в s
j
называется
величина λ
ij
p
i
(t), причем интенсивность λ
ij
здесь может быть как за
висящей, так и независящей от времени.
Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состоя
ний s
1
, s
2
, …, s
n
. Для описания случайного процесса, протекающего в
этой системе, применяются вероятности состояний
12
( ), ( ), , ( ),
n
p
tpt pt1
(4.3)
где p
i
(t) – вероятность того, что система S в момент t находится в
состоянии s
i
:
{
}
() () .
ii
p
tPSts==
(4.4)
Очевидно, для любого t
1
() 1.
n
i
i
pt
=
=
∑
(4.5)
Для нахождения вероятностей (4.3) нужно решить систему диф
ференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид
d
d
11
()
() () ( 1,2, , )
nn
i
ij j i ij
jj
pt
p
tpt i n
t
==
=λ − λ =
∑∑
1
или, опуская аргумент t у переменных p
i
,
d
d
11
(1,2,,).
nn
i
ij j i ij
jj
p
p
pi n
t
==
=λ − λ =
∑∑
1
(4.6)
Отметим, что интенсивности λ
ij
могут зависеть от времени t (аргу
мент t для краткости написания опущен).
Уравнения (4.6) удобно составлять, пользуясь размеченным гра
фом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: про%

Страницы