Методы прогнозирования. Сухарев М.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40
Свойства оценок наименьших квадратов
а) Среднее
Оценка (2.5.2) является несмещенной. Действительно,
1 1
ˆ
.
T T T T
M
β X X X MY X X X Xβ β
(2.5.5)
При выводе (2.5.5) использовано первое из соотношений
(2.3.10) и тот факт, что оператор математического ожидания
M
линеен.
б) Дисперсия
Матрицей ковариаций оценок
ˆ
β
является с точностью до
множителя матрица
T
X X
.
Пусть
и
A B
произвольные матрицы, а
и
X Y
― случайные
векторы. Легко проверяется, что
cov , cov , .
T
AX BY A X Y B
(2.5.6)
Конечно, предполагается, что размеры матриц и векторов
таковы, что все операции в (2.5.6) выполнимы. Из (2.5.6) следует
cov , ( ) .
T
D AY AY AY A DY A
(2.5.7)
Значит, с учетом второго равенства (2.3.10) получаем
1 1
1 1 1
2 2
ˆ
( )
.
T T T
T T T T
Dβ X X X DY X X X
X X X X X X X X
(2.5.8)
Что и требовалось доказать.
Параметр
2
в равенстве (2.5.8) является константой, кото-
рая, однако, обычно неизвестна. Оказывается, что несмещенной
оценкой
2
служит (с точностью до множителя) остаточная сум-
ма квадратов. Для доказательства этого, пожалуй, лучше всего

Страницы