Защита электронных средств от механических воздействий. Теоретические основы. Талицкий Е.Н. - 68 стр.

                  ⎛ ∂ 4ω      ∂ 4ω   ∂ 4ω ⎞
               D⎜⎜ 4 + 2 ⋅ 2 2 + 4 ⎟⎟ = q( x, y ) ,                (3.33)
                  ⎝ ∂ x     ∂x  ∂y   ∂ y  ⎠
где ω = ω( x, y ) - прогиб пластины в точке с координатами x и y; D – ци-
линдрическая жесткость пластины:
                              3
                      D = EH                                       (3.34)
                                12 ⋅ (1 − ν 2 )
     В (3.34) E и ν - соответственно модуль упругости и коэффициент
Пуассона материала пластины , а H - её толщина.
     Заменяя в (3.33) в соответствии с принципом Д’Аламбера статисти-
                                         (       )
ческую нагрузку силой инерции m ∂ 2 z / ∂ t 2 , получим уравнение свобод-
ных незатухающих (собственных) колебаний пластины:
               ⎛ ∂2 z ⎞  ⎛ ∂ 4ω  ∂ 4ω ∂ 4ω ⎞
            m⎜⎜ 2 ⎟⎟ + D⎜⎜ 4 + 2 2 2 + 4 ⎟⎟ = 0,                  (3.35)
               ⎝ ∂t ⎠    ⎝ ∂x   ∂x ∂y ∂y ⎠
где z = z ( x, y, t ) .
      Наибольшее распространение для решения задач о собственных ко-
лебаниях получили точные методы, основанные на непосредственном ре-
шении уравнения (3.35) , а также приближенные энергетические методы,
основанные на законе сохранения энергии. В дальнейшем необходимо
знать формулы для вычисления максимальных значений кинетической
Tmax и потенциальной П max энергии пластины:
                            ρHω02
                   Tmax   =         ∫∫ ω dxdy
                                             2
                                                                  (3.36)
                              2     Sn



                  D ⎡ ⎛ ∂ 2 ω ∂ 2ω ⎞ 2
            Пmax = ∫∫ ⎢ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ − 2(1 − ν) ×
                  2 S n ⎣ ⎝ ∂x ∂y ⎠
                                                                  (3.37)
                    ⎧ ∂ ω ∂ ω ⎛ ∂ ω ⎞ 2⎫ ⎤
                      2    2         2
                  × ⎨ 2 2 − ⎜⎜         ⎟⎟ ⎬ ⎥ dxdy,
                    ⎩ ∂x  ∂y    ⎝ ∂x∂y  ⎠ ⎭ ⎥⎦
где S n - площадь пластины; ρ - плотность материала.
     Точный метод расчета собственных частот колебаний пластин.
Известно точное решение задачи о собственных колебаниях конструкции
типа прямоугольных пластин, когда две противоположные стороны сво-
бодно оперты при любых граничных условиях на двух других краях. Наи-
более простое решение получается, когда все края пластины свободно
  68