ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
),(
ωω
2
ω
4
4
22
4
4
4
yxq
yyxx
D =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂∂
∂
⋅+
∂
∂
,
(3.33)
где
),(
y
xω=ω
- прогиб пластины в точке с координатами x и y; D – ци-
линдрическая жесткость пластины:
)1(12
2
3
ν
−⋅
=
EH
D
(3.34)
В (3.34)
E
и - соответственно модуль упругости и коэффициент
Пуассона материала пластины , а
ν
H
- её толщина.
Заменяя в (3.33) в соответствии с принципом Д
’
Аламбера статисти-
ческую нагрузку силой инерции
(
)
22
/ tzm ∂∂
, получим уравнение свобод-
ных незатухающих (собственных) колебаний пластины:
,0
ωω
2
ω
4
4
22
4
4
4
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
yyxx
D
t
z
m
(3.35)
где
),,(
t
y
xzz =
.
Наибольшее распространение для решения задач о собственных ко-
лебаниях получили точные методы, основанные на непосредственном ре-
шении уравнения (3.35) , а также приближенные энергетические методы,
основанные на законе сохранения энергии. В дальнейшем необходимо
знать формулы для вычисления максимальных значений кинетической
и потенциальной энергии пластины:
max
T
max
П
∫∫
ω
ωρ
=
n
S
dxdy
H
T
2
2
0
max
2
(3.36)
,
)1(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
max
dxdy
yx
yx
yx
D
П
n
S
⎥
⎥
⎦
⎤
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
ω∂
−
∂
ω∂
∂
ω∂
×
⎢
⎣
⎡
×ν−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ω∂
+
∂
ω∂
=
∫∫
(3.37)
где
- площадь пластины;
ρ
- плотность материала.
n
S
Точный метод расчета собственных частот колебаний пластин.
Известно точное решение задачи о собственных колебаниях конструкции
типа прямоугольных пластин, когда две противоположные стороны сво-
бодно оперты при любых граничных условиях на двух других краях. Наи-
более простое решение получается, когда все края пластины свободно
68
⎛ ∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω ⎞ D⎜⎜ 4 + 2 ⋅ 2 2 + 4 ⎟⎟ = q( x, y ) , (3.33) ⎝ ∂ x ∂x ∂y ∂ y ⎠ где ω = ω( x, y ) - прогиб пластины в точке с координатами x и y; D – ци- линдрическая жесткость пластины: 3 D = EH (3.34) 12 ⋅ (1 − ν 2 ) В (3.34) E и ν - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины , а H - её толщина. Заменяя в (3.33) в соответствии с принципом Д’Аламбера статисти- ( ) ческую нагрузку силой инерции m ∂ 2 z / ∂ t 2 , получим уравнение свобод- ных незатухающих (собственных) колебаний пластины: ⎛ ∂2 z ⎞ ⎛ ∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω ⎞ m⎜⎜ 2 ⎟⎟ + D⎜⎜ 4 + 2 2 2 + 4 ⎟⎟ = 0, (3.35) ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎠ где z = z ( x, y, t ) . Наибольшее распространение для решения задач о собственных ко- лебаниях получили точные методы, основанные на непосредственном ре- шении уравнения (3.35) , а также приближенные энергетические методы, основанные на законе сохранения энергии. В дальнейшем необходимо знать формулы для вычисления максимальных значений кинетической Tmax и потенциальной П max энергии пластины: ρHω02 Tmax = ∫∫ ω dxdy 2 (3.36) 2 Sn D ⎡ ⎛ ∂ 2 ω ∂ 2ω ⎞ 2 Пmax = ∫∫ ⎢ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ − 2(1 − ν) × 2 S n ⎣ ⎝ ∂x ∂y ⎠ (3.37) ⎧ ∂ ω ∂ ω ⎛ ∂ ω ⎞ 2⎫ ⎤ 2 2 2 × ⎨ 2 2 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎥ dxdy, ⎩ ∂x ∂y ⎝ ∂x∂y ⎠ ⎭ ⎥⎦ где S n - площадь пластины; ρ - плотность материала. Точный метод расчета собственных частот колебаний пластин. Известно точное решение задачи о собственных колебаниях конструкции типа прямоугольных пластин, когда две противоположные стороны сво- бодно оперты при любых граничных условиях на двух других краях. Наи- более простое решение получается, когда все края пластины свободно 68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »