Защита электронных средств от механических воздействий. Теоретические основы. Талицкий Е.Н. - 69 стр.

оперты. Решения уравнения собственных колебаний (3.35) в этом случае
имеет вид
                       z ( x, y, t ) = w( x, y ) ⋅ e jω0 t .
   Амплитудная функция w( x, y ) , называемая собственной формой ко-
лебаний пластины , определяется выражением
                                        ⎛ iπx ⎞ ⎛ fπy ⎞
                     w( x, y ) = Aij sin⎜     ⎟ sin⎜  ⎟,
                                        ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
где a и b – размеры сторон пластины; i, f – число полуволн синусоиды в
направлении осей x и y соответственно.
      Нетрудно убедится, что это решение удовлетворяет граничным усло-
виям на контуре
             ∂2z   ∂2z
      z = 0 и 2 + ν 2 = 0 при x = 0 и x = a ;
             ∂x    ∂y
             ∂2z   ∂2z
      z = 0 и 2 + ν 2 = 0 при y = 0 и y = b ,
             ∂y    ∂x
которые означают равенство нулю прогибов и изгибающих моментов на
краях пластины.
      Подставляя решение z ( x, y , t ) в (3.35), получаем:
                     2           2     2        2
                ⎛ iπ ⎞    ⎛ iπ ⎞ ⎛ iπ ⎞ ⎛ iπ ⎞ 2 ρH
                ⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ω0        ,
                ⎝ ⎠a      ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
                             a      b      b      D
отсюда собственная частота колебаний
                      ⎡⎛ i ⎞ 2 ⎛ f ⎞ 2 ⎤  D
               ω0 = π ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⋅
                         2
                                            .                     (3.38)
                      ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
                         a       b       ρH
      Приближенные методы расчета собственных частот колебаний
пластин. Рассмотренный выше точный метод расчета собственных частот
колебаний применим только для однородных прямоугольных пластин,
свободно опертых на двух других противоположных краях. На практике
часто необходимо определить собственные частоты колебаний конструк-
ций, не удовлетворяющих этим требованиям. В таких случаях применяют-
ся приближенные методы Рэлея, Ритца, Бубнова-Галеркина и др.
      М е т о д Р э л е я. По методу Рэлея собственная частота ω0 опреде-
ляется из сопоставления выражений для кинетической и потенциальной
энергии колебаний системы.
      Максимальные значения кинетической и потенциальной энергий
пластин, совершающих одно из главных колебаний
                                                                    69