ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
207
Следует отметить, что если при конечном числе n из-
мерений все значения
∆
а
i
*
(i = 1, 2, ... n) являются незави-
симыми [поскольку измерения a
i
(i = 1, 2, ... n) полагаются
независимыми], то из n величин
∆
а
i
(при i = 1, 2, ... n) неза-
висимыми являются лишь (n-1) величин, так как средне-
арифметическое значение а
ср
, входящее в определение по-
грешностей
∆
а
i
(уравнение 6.10), само определяется из этих
же n измерений а
i
(при i = 1, 2, ... n), и потому погрешности
∆
а
i
подчиняются очевидному тождеству
Σ∆
а
i
≡
0 (6.14)
[При конечном числе n величина а
ср
называется выбо-
рочным средним или средним выборки (в отличие от гене-
рального среднего, получающегося при n =
∞
). Выборка оз-
начает, что из бесконечного множества (генеральной сово-
купности) возможных значений a
i
берется наугад n значе-
ний].
Действительно, по определению погрешностей
∆
а
i
имеем
∆
а
1
= а
ср
- а
1
,
∆
а
2
= а
ср
- а
2
,
. . . . . . . . . . .
∆
а
n
= а
ср
- а
n
,
суммируя левые и правые части этих равенств, получаем
Σ∆
а
i
= n
⋅
a
ср
-
Σ
а
i,
по определению среднеарифметического значения (6.3)
Σ∆
а
i
=
Σ
а
i
-
Σ
а
i
≡
0.
В силу этого, когда истинное значение а неизвестно,
оценкой дисперсии
σ
2
является так называемая выборочная
дисперсия или дисперсия выборки
∆
S
n
2
:
∆
S
n
2
=
Σ
(
∆
а
i
)
2
/(n-1) (6.15)
Отметим, что при ограниченном числе n величина
∆
S
n
2
является лишь оценкой дисперсии
σ
2
, а не равна ей.
208
Следует отметить еще, что из измерений мы можем непо-
средственно определить лишь величину
∆
S
n
2
, а не величину
σ
2
.
Корень квадратный из выборочной дисперсии оп-
ределяет так называемую среднеквадратичную погреш-
ность отдельного измерения
∆
S
n
= + [
Σ
(
∆
а
i
)
2
/(n-1)]
1/2
(6.16)
Покажем, как найти оценку погрешности результата
всей серии из n измерений, т.е. величину
∆
а
= а - а
ср
,
с заданным значением надежности а.
Для этого найдем прежде всего, как связаны между
собой дисперсии
σ
2
а(ср)
и
σ
2
, т.е. дисперсии распределения
погрешностей результата серии измерений и погрешностей
отдельных измерений.
Для этой цели преобразуем соотношение
∆
S
n
*2
=
Σ
(
∆
а
i
*
)
2
/ n =
= (1/n)
⋅
Σ
(а-а
i
)
2
= (1/n)
⋅
Σ
(а- а
ср
+ а
ср
- а
i
)
2
=
= (1/n)
⋅Σ
(
∆
a
*
+
∆
a
i
)
2
=
= (1/n)
⋅Σ∆
a
*2
+ (2
∆
a
*
/n)
⋅Σ∆
a
i
+ (1/n)
⋅Σ∆
a
i
2
=
=
∆
a
*2
+ (1/n)
⋅Σ∆
a
i
2
т.е.
∆
S
n
*2
=
∆
a
*2
+[(n-1)/n]
⋅∆
S
n
2
, (6.17)
где
∆
S
n
2
определяется соотношением (6.15). При этом мы
учитываем соотношение (6.14).
Допустим, что повторяя серии измерений по n из-
мерений в каждой N раз, мы получили средние значения
а
1(ср),
а
2(ср)
, ..., а
N(ср)
и погрешности результатов измерений:
(
∆
а)
1
= (а- а
1(ср)
), (
∆
а)
2
= (а- а
2(ср)
), . . . , (
∆
а)
N
=
= (а-а
N(ср)
).
Сравнивая распределения (6.10) и (6.9), можно запи-
сать
∆
S
а(ср)
2
= (1/N)
⋅Σ
(
∆
a)
j
2
= (
∆
a)
2
где черта сверху означает усреднение по всем N сериям.
207 208
Следует отметить, что если при конечном числе n из- Следует отметить еще, что из измерений мы можем непо-
мерений все значения ∆аi* (i = 1, 2, ... n) являются незави- средственно определить лишь величину ∆Sn2, а не величину
симыми [поскольку измерения ai (i = 1, 2, ... n) полагаются σ2.
независимыми], то из n величин ∆аi (при i = 1, 2, ... n) неза- Корень квадратный из выборочной дисперсии оп-
висимыми являются лишь (n-1) величин, так как средне- ределяет так называемую среднеквадратичную погреш-
арифметическое значение аср , входящее в определение по- ность отдельного измерения
грешностей ∆аi (уравнение 6.10), само определяется из этих ∆Sn = + [Σ(∆аi)2/(n-1)]1/2 (6.16)
же n измерений аi (при i = 1, 2, ... n), и потому погрешности Покажем, как найти оценку погрешности результата
∆аi подчиняются очевидному тождеству всей серии из n измерений, т.е. величину
Σ∆аi ≡ 0 (6.14) ∆а = а - аср ,
[При конечном числе n величина аср называется выбо- с заданным значением надежности а.
рочным средним или средним выборки (в отличие от гене- Для этого найдем прежде всего, как связаны между
рального среднего, получающегося при n = ∞). Выборка оз- собой дисперсии σ2а(ср) и σ2, т.е. дисперсии распределения
начает, что из бесконечного множества (генеральной сово- погрешностей результата серии измерений и погрешностей
купности) возможных значений ai берется наугад n значе- отдельных измерений.
ний]. Для этой цели преобразуем соотношение
Действительно, по определению погрешностей ∆аi ∆Sn*2 = Σ(∆аi*)2/ n =
имеем = (1/n)⋅ Σ(а-аi)2 = (1/n)⋅ Σ(а- аср + аср - аi)2 =
= (1/n)⋅Σ(∆a* + ∆ai)2 =
∆а1 = аср - а1, = (1/n)⋅Σ∆a*2 + (2∆a*/n)⋅Σ∆ai + (1/n)⋅Σ∆ai2 =
∆а2 = аср - а2, = ∆a*2 + (1/n)⋅Σ∆ai2
........... т.е.
∆аn = аср - аn, ∆Sn*2 = ∆a*2 +[(n-1)/n]⋅∆Sn2, (6.17)
суммируя левые и правые части этих равенств, получаем где ∆Sn определяется соотношением (6.15). При этом мы
2
Σ∆аi = n⋅aср - Σаi, учитываем соотношение (6.14).
по определению среднеарифметического значения (6.3) Допустим, что повторяя серии измерений по n из-
Σ∆аi = Σаi - Σаi ≡ 0. мерений в каждой N раз, мы получили средние значения
В силу этого, когда истинное значение а неизвестно, а1(ср), а2(ср), ..., аN(ср) и погрешности результатов измерений:
оценкой дисперсии σ2 является так называемая выборочная (∆а)1 = (а- а1(ср)), (∆а)2 = (а- а2(ср)), . . . , (∆а)N =
дисперсия или дисперсия выборки ∆Sn2: = (а-аN(ср)).
∆Sn2 = Σ(∆аi)2/(n-1) (6.15) Сравнивая распределения (6.10) и (6.9), можно запи-
Отметим, что при ограниченном числе n величина сать
∆Sn2 является лишь оценкой дисперсии σ2, а не равна ей. ∆Sа(ср)2 = (1/N)⋅Σ(∆a)j2 = (∆a)2
где черта сверху означает усреднение по всем N сериям.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
