ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
209
При большом числе N серий величина
∆
S
а(ср)
2
→
σ
а(ср)
2
и усредняя равенство (6.17) по большому числу N се-
рий, получаем
__ __ __
∆
S
а(ср)
2
= (
∆
a)
2
=
∆
S
n
*2
- [(n-1)/n]
⋅
∆
S
n
2
(6.18)
Как отмечалось ранее, при большом числе измерений
n в каждой серии
∆
S
n
*2
→
σ
2
и
∆
S
n
2
→
σ
2
для любой из N серий, поэтому, переходя в (6.18) к выраже-
ниям n
→
∞
и N
→
∞
, получаем связь между дисперсиями
σ
а(ср)
2
и
σ
2
:
σ
а(ср)
2
=
σ
2
- [(n-1)/n]
⋅σ
2
=
σ
2
/n (6.19)
т.е. дисперсия
σ
а(ср)
2
результата серии из n измерений в n
раз меньше дисперсии
σ
2
отдельных измерений.
При ограниченном числе n измерений приближенным
выражением
σ
а(ср)
2
будет
∆
S
а(ср)
2
:
∆
S
а(ср)
2
=
∆
S
n
2
/n =
Σ
(
∆
a
i
2
)/n(n-1) (6.20)
отсюда среднеквадратичная погрешность результата се-
рии измерений
∆
S
а(ср)
= (
∆
S
а(ср)
2
)
1/2
= [
Σ
(
∆
a
i
)
2
/n(n-1)]
1/2
(6.21)
Оценки дисперсий
σ
2
, полученные в
(6.11) и (6.15), и
дисперсии
σ
а(ср)
2
, полученные в (6.20), являются предель-
ными, справедливыми лишь при n
→∞
, т.е. при больших
величинах n.
При небольшом числе измерений (практически при n
< 20) при расчете
∆
а при заданной надежности необходимо
вводить вместо коэффициентов k
α
, рассмотренных выше,
коэффициенты Стьюдента, зависящие от числа произведен-
ных измерений n и от величины надежности
α
:
t
α
(n) =
∆
a/
∆
S
а(ср)
=
∆
a/(
∆
S
n
/n
1/2
) (6.22)
где
∆
S
а(ср)
определяется соотношением (6.21), а
∆
S
n
- соот-
ношением (6.16). При n
→
∞
коэффициенты t
α
переходят в
коэффициенты k
α
.
210
Таким образом, чтобы получить оценки границ дове-
рительного интервала для а при малых n вводят новый ко-
эффициент t
α
. Этот коэффициент был предложен англий-
ским математиком и химиком В.С.Госсетом, публиковав-
шим свои работы под псевдонимом “Стьюдент” - студент, и
получил впоследствии название коэффициента Стьюден-
та.
Показатели
1-я серия
х
1
х
2
х
3
х
4
х
5
2-я серия
х
1
х
2
х
3
х
4
х
5
3-я серия
х
1
х
2
х
3
х
4
х
5
Среднее значение
х
ср
х
1(ср)
х
2(ср)
х
3(ср)
Число измерений
n
n
1
n
2
n
3
Число степеней
свободы к
к
1
= n
1
- 1 к
2
= n
2
- 1 к
3
= n
3
- 1
Дисперсия
S
1
2
S
2
2
S
3
2
VI.1.3.2. Сравнение результатов
нескольких серий измерений
Если измерения проводятся несколькими сериями, ка-
ждая из которых характеризуется своими значениями вели-
чин а
ср
, S
2
и n, то истинное значение величины а рассчиты-
вается по данным всех серий, представленных в таблице.
Дисперсия, вычисленная по всей сумме полученных
результатов,
S
n
2
=[S
1
2
(n
1
-1) + S
2
2
(n
2
- 1) + S
3
2
(n
3
- 1)]/(n
1
+ n
2
+ n
3
- 3)
209 210
При большом числе N серий величина ∆Sа(ср)2 → Таким образом, чтобы получить оценки границ дове-
σа(ср)2 и усредняя равенство (6.17) по большому числу N се- рительного интервала для а при малых n вводят новый ко-
рий, получаем эффициент tα. Этот коэффициент был предложен англий-
__ __ __ ским математиком и химиком В.С.Госсетом, публиковав-
∆Sа(ср) = (∆a) = ∆Sn - [(n-1)/n]⋅ ∆Sn2 (6.18)
2 2 *2 шим свои работы под псевдонимом “Стьюдент” - студент, и
Как отмечалось ранее, при большом числе измерений получил впоследствии название коэффициента Стьюден-
n в каждой серии та.
∆Sn*2 → σ2 и ∆Sn2 → σ2 1-я серия 2-я серия 3-я серия
для любой из N серий, поэтому, переходя в (6.18) к выраже- х1 х1 х1
ниям n → ∞ и N→ ∞, получаем связь между дисперсиями Показатели х2 х2 х2
σа(ср)2 и σ2: х3 х3 х3
σа(ср)2 = σ2 - [(n-1)/n]⋅σ2 = σ2/n (6.19) х4 х4 х4
х5 х5 х5
т.е. дисперсия σа(ср)2 результата серии из n измерений в n
Среднее значение х1(ср) х2(ср) х3(ср)
раз меньше дисперсии σ2 отдельных измерений.
хср
При ограниченном числе n измерений приближенным
Число измерений n1 n2 n3
выражением σа(ср)2 будет ∆Sа(ср)2:
n
∆Sа(ср)2 = ∆Sn2 /n = Σ(∆ai2)/n(n-1) (6.20)
Число степеней к1 = n1 - 1 к2 = n2 - 1 к3 = n3 - 1
отсюда среднеквадратичная погрешность результата се-
свободы к
рии измерений
Дисперсия S12 S22 S32
∆Sа(ср) = (∆Sа(ср)2)1/2 = [Σ(∆ai)2/n(n-1)]1/2 (6.21)
Оценки дисперсий σ2, полученные в (6.11) и (6.15), и
VI.1.3.2. Сравнение результатов
дисперсии σа(ср)2, полученные в (6.20), являются предель- нескольких серий измерений
ными, справедливыми лишь при n →∞, т.е. при больших Если измерения проводятся несколькими сериями, ка-
величинах n. ждая из которых характеризуется своими значениями вели-
При небольшом числе измерений (практически при n чин аср, S2 и n, то истинное значение величины а рассчиты-
< 20) при расчете ∆а при заданной надежности необходимо вается по данным всех серий, представленных в таблице.
вводить вместо коэффициентов kα, рассмотренных выше, Дисперсия, вычисленная по всей сумме полученных
коэффициенты Стьюдента, зависящие от числа произведен- результатов,
ных измерений n и от величины надежности α: Sn2 =[S12(n1 -1) + S22(n2 - 1) + S32(n3 - 1)]/(n1 + n2 + n3 - 3)
tα (n) = ∆a/∆Sа(ср) = ∆a/(∆Sn/n1/2) (6.22)
где ∆Sа(ср) определяется соотношением (6.21), а ∆Sn - соот-
ношением (6.16). При n → ∞ коэффициенты tα переходят в
коэффициенты kα.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
