ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
219
Пусть искомая величина z определяется из прямых
измерений величины а, причем z = f(a).
Обозначим точное значение результата косвенных из-
мерений через
z = z
ср
±
∆
z = f(a
ср
±
∆
а)
где а = а
ср
±
∆
а, z
ср
= f(a
ср
). Полагая величину абсолютной
погрешности прямых измерений
∆
а очень малой по сравне-
нию с а
ср
, можно для определения погрешности косвенных
измерений
∆
z
z(ср)
= {[f(a) - f(a
ср
)]
2
}
1/2
= f(a) - f(a
ср
)
воспользоваться связью дифференциала функции df с
бесконечно малым изменением аргумента
df(a) = (df/da)
⋅
da.
Абсолютная погрешность результата косвенных изме-
рений в этом случае равна
∆
z
z(ср)
=df(a)= f(a
ср
+
∆
а) - f(a
ср
)=(df/da)
⋅
(a
ср
)
∆
a (6.23)
где
∆
а определяется соотношениями (6.21) и (6.22).
Относительная погрешность равна
ε
z
= f
′
(a
ср
)/ f(a
ср
)
⋅∆
a
⋅
100%
или, полагая,
∆
a
≈
da и
∆
z
≈
dz,
ε
z
= df(a)/f(a) = d(ln a),
где знак d после дифференцирования следует заменить на
знак
∆
.
Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина
является функцией двух переменных а и b, значения кото-
рых определяются непосредственно из серий k и m измере-
ний соответственно:
z = f(а, b)
Остановимся сначала на простейшем случае:
z = а + b,
причем величина а определяется из серии k измерений a
i
(i
= 1, 2, ..., k), а величина b- из серии m измерений b
j
(j = 1, 2,
..., m).
220
Истинные значения а и b связаны со средними значе-
ниями а
ср
и b
ср
, соотношениями
а = а
ср +
∆
а
*
, b = b
ср
+
∆
b
*
Если обозначить среднее значение функции через z
ср
=
a
ср
+ b
ср
, то средний квадрат отклонения z от z
ср
равен
_______ _____________ __________
∆
z
2
= (z - z
ср
)
2
= (a - a
ср
+ b - b
ср
)
2
= (
∆
a* +
∆
b*)
2
=
___ _______ ____
=
∆
a*
2
+ 2
∆
a*
⋅∆
b* +
∆
b*
2
=
∆
a
2
+
∆
b
2
Здесь черта сверху означает усреднение по распреде-
лению соответствующих случайных величин. В данном
уравнении член 2
∆
a*
⋅∆
b* равен нулю в силу симметрии
кривых распределения величин
∆
a* и
∆
b*.
Аналогично, если
z = Q
⋅
a + R
⋅
b,
где Q и R - постоянные, получаем
∆
z
2
= Q
2
⋅∆
a
2
+ R
2
⋅∆
b
2
В самом общем случае, когда
z = f(a,b)
можно показать, что
∆
z
2
= (
∂
f/
∂
a)
2
⋅∆
a
2
+ (
∂
f/
∂
b)
2
⋅∆
b
2
и, следовательно,
∆
z = [(
∂
f/
∂
a)
2
⋅∆
a
2
+ (
∂
f/
∂
b)
2
⋅∆
b
2
]
1/2
(6.24)
Здесь
∂
f/
∂
a и
∂
f/
∂
b - частные производные функции
f(а, b) по переменным а и b соответственно. Частная про-
изводная функции многих переменных f по одной пе-
ременной, например а, является обычной производной
функции f по а, причем другая переменная b считается по-
стоянным параметром. Все производные в выражении (6.24)
вычисляются при значениях а = а
ср
и b = b
ср
.
Универсального способа оценки границ доверительно-
го интервала при заданной надежности для результата кос-
венных измерений до сих пор не существует. Более того,
даже для оценки границ доверительного интервала разности
219 220
Пусть искомая величина z определяется из прямых Истинные значения а и b связаны со средними значе-
измерений величины а, причем z = f(a). ниями аср и bср, соотношениями
Обозначим точное значение результата косвенных из- а = аср + ∆а*, b = bср + ∆b*
мерений через Если обозначить среднее значение функции через zср=
z = zср ± ∆z = f(aср ± ∆а) aср + bср, то средний квадрат отклонения z от zср равен
где а = аср ± ∆а, zср = f(aср). Полагая величину абсолютной _______ _____________ __________
погрешности прямых измерений ∆а очень малой по сравне- ∆z2 = (z - zср)2 = (a - aср + b - bср)2 = (∆a* + ∆b*)2 =
нию с аср, можно для определения погрешности косвенных ___ _______ ____
измерений = ∆a* + 2∆a*⋅∆b* + ∆b*2 = ∆a2 + ∆b2
2
∆zz(ср) = {[f(a) - f(aср)]2}1/2 = f(a) - f(aср) Здесь черта сверху означает усреднение по распреде-
воспользоваться связью дифференциала функции df с лению соответствующих случайных величин. В данном
бесконечно малым изменением аргумента уравнении член 2∆a*⋅∆b* равен нулю в силу симметрии
df(a) = (df/da)⋅da. кривых распределения величин ∆a* и ∆b*.
Абсолютная погрешность результата косвенных изме- Аналогично, если
рений в этом случае равна z = Q⋅a + R⋅b,
∆zz(ср)=df(a)= f(aср+ ∆а) - f(aср)=(df/da)⋅(aср)∆a (6.23) где Q и R - постоянные, получаем
где ∆а определяется соотношениями (6.21) и (6.22). ∆z2 = Q2⋅∆a2 + R2⋅∆b2
Относительная погрешность равна В самом общем случае, когда
εz = f′(aср)/ f(aср)⋅∆a⋅100% z = f(a,b)
или, полагая, ∆a ≈ da и ∆z ≈ dz, можно показать, что
εz = df(a)/f(a) = d(ln a), ∆z2 = (∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2
где знак d после дифференцирования следует заменить на и, следовательно,
знак ∆. ∆z = [(∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2]1/2 (6.24)
Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина Здесь ∂f/∂a и ∂f/∂b - частные производные функции
является функцией двух переменных а и b, значения кото- f(а, b) по переменным а и b соответственно. Частная про-
рых определяются непосредственно из серий k и m измере- изводная функции многих переменных f по одной пе-
ний соответственно: ременной, например а, является обычной производной
z = f(а, b) функции f по а, причем другая переменная b считается по-
Остановимся сначала на простейшем случае: стоянным параметром. Все производные в выражении (6.24)
z = а + b, вычисляются при значениях а = аср и b = bср.
причем величина а определяется из серии k измерений ai (i Универсального способа оценки границ доверительно-
= 1, 2, ..., k), а величина b- из серии m измерений bj (j = 1, 2, го интервала при заданной надежности для результата кос-
..., m). венных измерений до сих пор не существует. Более того,
даже для оценки границ доверительного интервала разности
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
