ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
221
двух величин в литературе имеются противоречивые реко-
мендации. Поэтому предлагается простой, хотя и недоста-
точно строгий способ оценки
α
при косвенных измерениях.
Если n
<
20 и m
<
20, то погрешности
∆
а и
∆
b опре-
деляются с помощью коэффициентов Стьюдента для одного
и того же значения надежности
α
.
Относительная погрешность равна
ε
z
=
∆
z/z
где
∆
z определяется соотношением (6.24).
Аналогично для
z = f(a, b, c ...)
получим
∆
z = [(
∂
f/
∂
a)
2
⋅∆
a
2
+ (
∂
f/
∂
b)
2
⋅∆
b
2
+ (
∂
f/
∂
c)
2
⋅∆
c
2
+ . . . ]
1/2
Относительная погрешность равна также
ε
z
=
∆
z/z
ср
и так как
(1/f)
⋅
(
∂
f/
∂
a) = (
∂
/
∂
a)lnf,
(1/f)
⋅
(
∂
f/
∂
b) = (
∂
/
∂
b)lnf,
(1/f)
⋅
(
∂
f/
∂
c) = (
∂
/
∂
c)lnf, . . .,
то
ε
z
2
= (
∆
z/z
ср
)
2
=
= [(
∂
/
∂
a)lnf]
2
⋅∆
a
2
+[(
∂
/
∂
b)lnf]
2
⋅∆
b
2
+[(
∂
/
∂
c)lnf]
2
⋅∆
c
2
+...
В частности, если
z = f(a, b, c, ...) = a
β
⋅
b
γ
⋅
c
δ
,
где
β
,
γ
,
δ
, ... могут принимать как положительные, так и от-
рицательные значения, то
lnf =
β⋅
lna +
γ⋅
lnb +
δ⋅
lnc,
(
∂
/
∂
a)lnf =
β
/a, (
∂
/
∂
b)lnf =
γ
/b, (
∂
/
∂
c)lnf =
δ
/c,
ε
z
2
=
β
2
⋅∆
a
2
/a
ср
2
+
γ
2
⋅∆
b
2
/b
ср
2
+
δ
2
⋅∆
c
2
/c
ср
2
=
=
β
2
⋅ε
a
2
+
γ
2
⋅ε
b
2
+
δ
2
⋅ε
c
2
, т.е.
ε
z
= (
β
2
⋅ε
a
2
+
γ
2
⋅ε
b
2
+
δ
2
⋅ε
c
2
)
1/2
Рассмотрим несколько частных случаев.
а) Погрешность суммы двух величин:
222
z = a + b
∆
z = (
∆
a
2
+
∆
b
2
)
1/2
ε
z
= (
∆
a
2
+
∆
b
2
)
1/2
/(a
ср
+ b
cр
)
б) Погрешность разности двух величин:
z = a - b
∆
z = (
∆
a
2
+
∆
b
2
)
1/2
ε
z
= (
∆
a
2
+
∆
b
2
)
1/2
/(a
ср
- b
cр
)
Видно, что при одной и той же величине абсолютной
погрешности
∆
z , т.е. при одной и той же величине
∆
a и
∆
b, относительная погрешность разности может быть зна-
чительно больше относительной погрешности суммы при
близких значениях а
ср
и b
ср
.
в) Погрешность произведения двух величин:
z = a
⋅
b
∆
z = (b
ср
2
⋅∆
a
2
+ a
ср
2
⋅∆
b
2
)
1/2
ε
z
= (
ε
a
2
+
ε
b
2
)
1/2
г) Погрешность отношения двух величин:
z = a/b
∆
z = [(1/b
ср
2
)
⋅∆
a
2
+ (a
ср
2
/b
4
)
⋅∆
b
2
]
1/2
ε
z
= (
ε
a
2
+
ε
b
2
)
1/2
Следует отметить, что если косвенные измерения про-
водятся в не воспроизводимых условиях, то значения функ-
ции вычисляются для каждого отдельного измерения, а гра-
ницы доверительного интервала определяют в результате
обработки вычисленных результатов косвенных измерений,
т.е. самих функций, так же как это выполняется для прямых
измерений.
Пример. При определении коэффициента вязкости
жидкости путем изучения движения твердых шариков раз-
ного диаметра в этой жидкости получены результаты,
представленные в табл. 6.6.
Поскольку величины, представленные ниже таблицы,
известны с достаточно большой точностью, то можно пре-
небречь погрешностями измерений этих величин, а также
221 222
двух величин в литературе имеются противоречивые реко- z=a+b
мендации. Поэтому предлагается простой, хотя и недоста- ∆z = (∆a2 + ∆b2)1/2
точно строгий способ оценки α при косвенных измерениях. εz = (∆a2 + ∆b2)1/2/(aср + bcр)
Если n < 20 и m < 20, то погрешности ∆а и ∆b опре- б) Погрешность разности двух величин:
деляются с помощью коэффициентов Стьюдента для одного z=a-b
и того же значения надежности α. ∆z = (∆a2 + ∆b2)1/2
Относительная погрешность равна εz = (∆a2 + ∆b2)1/2/(aср - bcр)
εz = ∆z/z Видно, что при одной и той же величине абсолютной
где ∆z определяется соотношением (6.24). погрешности ∆z , т.е. при одной и той же величине ∆a и
Аналогично для ∆b, относительная погрешность разности может быть зна-
z = f(a, b, c ...) чительно больше относительной погрешности суммы при
получим близких значениях аср и bср.
∆z = [(∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2 + (∂f/∂c)2⋅∆c2 + . . . ]1/2 в) Погрешность произведения двух величин:
Относительная погрешность равна также z = a⋅ b
εz = ∆z/zср ∆z = (bср ⋅∆a2 + aср2⋅∆b2)1/2
2
и так как εz = (εa2 + εb2)1/2
(1/f)⋅(∂f/∂a) = (∂/∂a)lnf, г) Погрешность отношения двух величин:
(1/f)⋅(∂f/∂b) = (∂/∂b)lnf, z = a/b
(1/f)⋅(∂f/∂c) = (∂/∂c)lnf, . . ., ∆z = [(1/bср2)⋅∆a2 + (aср2/b4)⋅∆b2]1/2
то εz = (εa2 + εb2)1/2
εz2 = (∆z/zср)2 = Следует отметить, что если косвенные измерения про-
= [(∂/∂a)lnf]2⋅∆a2+[(∂/∂b)lnf]2⋅∆b2+[(∂/∂c)lnf]2⋅∆c2+... водятся в не воспроизводимых условиях, то значения функ-
В частности, если ции вычисляются для каждого отдельного измерения, а гра-
z = f(a, b, c, ...) = aβ⋅bγ⋅cδ, ницы доверительного интервала определяют в результате
где β, γ, δ, ... могут принимать как положительные, так и от- обработки вычисленных результатов косвенных измерений,
рицательные значения, то т.е. самих функций, так же как это выполняется для прямых
lnf = β⋅lna + γ⋅lnb + δ⋅lnc, измерений.
(∂/∂a)lnf = β/a, (∂/∂b)lnf = γ/b, (∂/∂c)lnf = δ/c, Пример. При определении коэффициента вязкости
εz2 = β2⋅∆a2/aср2 + γ2⋅∆b2/bср2 + δ2⋅∆c2/cср2 = жидкости путем изучения движения твердых шариков раз-
ного диаметра в этой жидкости получены результаты,
= β2⋅εa2 + γ2⋅εb2 + δ2⋅εc2, т.е.
представленные в табл. 6.6.
εz = (β2⋅εa2 + γ2⋅εb2 + δ2⋅εc2)1/2
Поскольку величины, представленные ниже таблицы,
Рассмотрим несколько частных случаев.
известны с достаточно большой точностью, то можно пре-
а) Погрешность суммы двух величин:
небречь погрешностями измерений этих величин, а также
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
