ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
65
r
XY
Y X
- b
0
σ
2
х
= 0,
решая которую находят коэффициенты а
0
и b
0
.
6.2.3. Задание. Решить систему последних уравнений с неизвестными а
0
и b
0
. Подтвердить, что
XY
rXMxYMy /))(()(
~
.
(6.12)
Эта формула задает функцию регрессии Y на Х, если M(Y X = x) = ax+ b.
Прямая, построенная по формуле (6.12.) называется прямой средней
квадратичной регрессии Y на Х.
Аналогично,
yx
rYMyXMx /))(()(
~
.
(6.13)
Задание. Используя формулы (6.12) и (6.13) показать, что обе прямые
проходят через точку (M(X), M(Y)), которую называют центром
совместного распределения случайных величин Х и Y.
6.2.4. Подставляя значения a
0
и b
0
в формулу (6.11), находят
минимальное значение математического ожидания квадрата отклонения
среднеквадратичной регрессии Y на Х от Y:
М(Y - (a
0
+ b
0
X))
2
=
y
2
(1 - r
2
).
(6.14)
Чем ближе r к 1, тем меньше дисперсия отклонения Y от наилучшего
линейного приближения (остаточная дисперсия). При r = 1 остаточная
дисперсия равна нулю, т.е. Х и Y связаны линейной функциональной
зависимостью (обе прямые регрессии совпадают).
6.2.4. Если обе функции регрессии линейны, то X и Y связаны линейной
корреляционной зависимостью. Графики линейных функций регрессии –
прямые линии. Они совпадают с прямыми среднеквадратической
регрессии.
Если двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально, то X
и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
6.2.5. Задание. Найти функцию регрессии Y на X, если (Х,Y) –
нормальная случайная величина.
Ответ: это нормальная случайная величина с параметрами:
)()()/( XMxrYMxYMa
x
y
;
(6.15)
222
1/ rxYD
x
,
(6.16)
т.е. функция регрессии Y на X является прямой линией, а условная
дисперсия не зависит от х.
