Линейная алгебра. Линейное программирование. Тарбокова Т.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15
1.6. Свойства определителей
Свойство 1
При транспонировании матрицы её определитель
не меняет своего значения, т.е
T
A
A
det
det
=
.
Действительно
,
при
разложении
определителя
матрицы
A
,
например
,
по
элементам
первой
строки
,
а
транспонированной
T
A
–
по
элементам
первого
столбца
,
получим
одно
и
то
же
число
.
Из
свойства
1
следует
,
что
любое
утверждение
,
справедливое
для
строк
,
справедливо
и
для
столбцов
.
Свойство 2
(анти-
симметрии)
При перестановке
двух строк
матрицы
её
опреде
-
литель
меняет знак
.
Доказательство.
Разложим
исходный
определитель
D
по
элементам
i
-
й
строки
:
(
)
(
)
(
)
ni
i
i
i
i
i
i
MaMaMaD
+
+
+
−++−+−= 111
2
2
2
1
1
1
L .
Поменяв
местами
i
-
ю
и
)
1
(
+
i
-
ю
строки
определителя
D
,
получим
определитель
1
D .
Разложим
определитель
1
D
по
элементам
)
1
(
+
i
-
й
стро
-
ки
(
соответствующие
элементы
и
миноры
определителей
D
и
1
D
при
этом
,
очевидно
,
одинаковые
):
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
[
]
.111)1(
111
2
2
2
1
1
1
1
2
21
21
11
11
DMaMaMa
MaMaMaD
in
ni
in
i
i
i
i
i
i
in
ni
ini
i
ii
i
i
−=−++−+−−=
=−++−+−=
+++
+
+
+
+
+
+
L
L
Итак
,
при
перестановке
двух
соседних
строк
определитель
меняет
знак
.
Чтобы
поменять
местами
i
-
ю
и
k
-
ю
)
(
i
k
>
строки
,
надо
поменять
соседние
строки
1
)
(
2
)
1
(
)
(
−
−
=
−
−
+
−
i
k
i
k
i
k
нечётное
число
раз
.
При
этом
определитель
также
нечётное
число
раз
сменит
знак
,
то
есть
станет
противоположного
знака
.
Свойство 3
Определитель
матрицы
,
имеющей
две одинаковые
строки
,
равен
нулю
.

Страницы