ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор
0
≥
Y
конеч
-
ного
потребления
можно
получить
при
подходящем
валовом
выпуске
0
≥
X
.
Оказывается
,
нет
необходимости
требовать
существования
решения
0
≥
X
уравнения
Y
AX
X
+
=
для
любого
вектора
0
≥
Y
.
Достаточно
,
что
-
бы
такое
решение
существовало
хотя
бы
для
одного
вектора
0
≥
Y
.
Приведём
без
доказательства
теорему
,
называемую
первым
критерием
продуктивности
.
Условимся
в
дальнейшем
писать
0
>
Y
и
называть
вектор
Y
положи
-
тельным
,
если
все
его
координаты
строго
положительны
.
Теорема
(1-й крите-
рий продук-
тивности)
Если
0
≥
A
и
для
некоторого
положительного
век
-
тора
∗
Y
уравнение
∗
∗
∗
+
=
Y
AX
X
имеет
решение
0
>
∗
X
,
то
матрица
A
продуктивна
.
Следующая
теорема
даёт
более
эффективное
условие
продуктивности
,
чем
первый
критерий
продуктивности
.
Теорема
(2-й крите-
рий продук-
тивности)
Матрица
0
≥
A
продуктивна
тогда
и
только
тогда
,
когда
матрица
1
)(
−
− AE
существует
и
неотрицательна
.
Доказательство. Если
1
)(
−
− AE
существует
и
0)(
1
≥−
−
AE ,
то
из
формулы
YAEX ⋅−=
−
1
)(
следует
продуктивность
матрицы
X
.
Обратно
,
пусть
матрица
A
продуктивна
.
Рассмотрим
следующие
сис
-
темы
уравнений
:
,)(...,;)(;)(
2
1
n
EXAEEXAEEXAE
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
−
где
n
EEE
...,,,
2
1
–
столбцы
единичной
матрицы
.
Каждая
из
этих
систем
в
силу
продуктивности
матрицы
A
имеет
неот
-
рицательное
решение
,
т
.
е
.
существуют
такие
векторы
(
столбцы
)
0...,,0,0
2
1
≥
≥
≥
n
CCC
,
что
n
n
ECAEECAEECAE
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
−
)(...,;)(;)(
2
2
1
1
.
Обозначим
через
C
матрицу
,
составленную
из
столбцов
0...,,0,0
2
1
≥
≥
≥
n
CCC
.
Тогда
вместо
n
равенств
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
