ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
Уравнение
0
=
BX
с
вырожденной
матрицей
B
обязательно
имеет
не
-
нулевое
решение
.
Следовательно
,
существует
вектор
0
≠
X
,
такой
,
что
0
)
(
=
−
X
A
E
.
Поэтому
XAEXAEAAAE
kk
)(0))(...(
12
−==−++++
−
,
или
X
A
X
k
=
.
Но
0lim =
∞→
k
k
A
в
силу
необходимого
условия
сходимости
ряда
.
Сле
-
довательно
,
0lim =
∞→
XA
k
k
,
т
.
е
.
0
=
X
вопреки
предположению
.
Полученное
противоречие
доказывает
,
что
матрица
)
(
A
E
−
имеет
обратную
1
)(
−
− AE .
Получим
обратную
матрицу
1
)(
−
− AE .
112
))(()...(
−−
−−=++++ AEAEAAAE
kk
.
С
учётом
того
,
что
0lim =
∞→
k
k
A
,
будем
иметь
112
)()...(lim
−−
∞→
−=++++ AEAAAE
k
k
.
Итак
,
сумма
ряда
...
...
2
+
+
+
+
+
n
A
A
A
E
существует
и
равна
1
)(
−
− AE .
Лемма
доказана
.
Теорема
(3-й критерий
продуктивно-
сти
Матрица
0
≥
A
продуктивна
тогда
и
только
тогда
,
ко
-
гда
сходится
бесконечный
ряд
...
...
2
+
+
+
+
+
n
A
A
A
E
Доказательство. Пусть
ряд
...
...
2
+
+
+
+
+
n
A
A
A
E
сходится
.
Соглас
-
но
лемме
его
сумма
равна
1
)(
−
− AE .
При
этом
сумма
ряда
будет
неотрица
-
тельной
,
поскольку
все
члены
ряда
–
неотрицательны
.
Итак
,
матрица
1
)(
−
− AE
существует
и
неотрицательна
.
Отсюда
в
соответствии
с
1-
м
критерием
продуктивности
следует
продуктивность
матрицы
A
.
Обратное
утверждение
(
если
матрица
A
продуктивна
,
то
ряд
...
...
2
+
+
+
+
+
n
A
A
A
E
сходится
)
примем
без
доказательства
.
Полученный
3-
й
критерий
продуктивности
матрицы
A
в
ряде
случаев
может
быть
использован
для
проверки
матрицы
A
на
продуктивность
.
По
-
кажем
,
например
,
что
если
сумма
элементов
любого
столбца
неотрицатель
-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
