Линейная алгебра. Линейное программирование. Тарбокова Т.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64
Теорема
(критерий линей-
ной зависимости
системы)
Система векторов линейно зависима тогда и
только тогда, когда, по крайней мере, один из векто-
ров является линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда
имеет место соотношение
0...
2
2
1
1
=
+
+
+
n
n
xxx
λ
λ
λ
,
причём
среди
чисел
n
λ
λ
λ
...,,
2
1
есть
отличные
от
нуля
.
Допустим
,
например
,
что
0
1
≠
λ
.
Разде
-
лим
соотношение
0...
2
2
1
1
=
+
+
+
n
n
xxx
λ
λ
λ
на
это
число
0
1
≠
λ
и
выразим
вектор
1
x
через
остальные
векторы
:
n
n
xxxx )(...)()(
1
3
1
3
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−++−+−= .
То
есть
вектор
1
x
является
линейной
комбинацией
остальных
векто
-
ров
.
Обратно
,
пусть
вектор
1
x
является
линейной
комбинацией
остальных
векторов
:
n
n
xxxx
λ
λ
λ
+
+
+
=
...
3
3
2
2
1
,
или
0...)1(
3
3
2
2
1
=
+
+
+
+
−
n
n
xxxx
λ
λ
λ
.
Так
как
среди
чисел
)...,,2,1( nk
k
=
λ
есть
01
1
≠−=
λ
,
то
система
векторов
линейно
зависима
.
Замечание.
Если
система
элементов
Leee
n
∈
...,,,
2
1
линейно
незави
-
сима
,
то
все
элементы
являются
«
уникальными
»,
т
.
к
.
никакой
элемент
нельзя
выразить
как
линейную
комбинацию
остальных
.
Предлагается
доказать
самостоятельно
следующие
теоремы
.
Теорема (о системе
с нулевым векто-
ром)
Система
векторов
,
содержащая
нулевой
вектор
,
линейно зависима.
Теорема
(о подсистеме век-
торов)
Если
подсистема
(
часть
)
данной
системы
век
-
торов
линейно
зависима
,
то
и
сама
система
линейно
зависима
.
Прежде, чем
рассматривать
примеры
линейной
зависимости
(
незави
-
симости
)
векторов
,
предварительно
определим
понятия
коллинеарных
,
со
-
направленных
,
противоположно
направленных
,
компланарных
векторов
.

Страницы