Линейная алгебра. Линейное программирование. Тарбокова Т.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

67
Доказательство. Пусть
n
eee ...,,,
2
1
какой
-
либо
базис
n
R
и
x
произ
-
вольный
вектор
этого
пространства
.
Система
векторов
x
и
n
eee
...,,,
2
1
ли
-
нейно
зависима
как
состоящая
из
)
1
(
+
n
вектора
.
По
определению
это
оз
-
начает
,
что
линейная
комбинация
этих
векторов
равна
нулю
:
0...
2
2
1
1
0
=
+
+
+
+
n
n
eeex
λ
λ
λ
λ
,
причём
не
все
коэффициенты
линейной
комбинации
равны
нулю
.
Очевидно
,
что
0
0
≠
λ
,
т
.
к
.
в
противном
случае
система
базисных
векторов
была
бы
линейно
зависимой
,
что
невозможно
.
Поэтому
вектор
x
представляется
линейной
комбинацией
базисных
векто
-
ров
:
n
n
eeex )(...)()(
0
2
0
2
1
0
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−++−+−=
.
Докажем
единственность
линейной
комбинации
n
n
eeex )(...)()(
0
2
0
2
1
0
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−++−+−=
.
Допустим
,
что
вектор
x
представлен
двумя
линейными
комбинация
-
ми
n
n
eeex
+
+
+
=
...
2
2
1
1
и
n
n
eeex
β
β
β
+
+
+
=
...
2
2
1
1
.
Вычитая
второе
равенство
из
первого
,
получим
:
0)(...)()(
2
2
2
1
1
1
=
−
+
+
−
+
−
n
n
n
eee
β
β
β
.
Так
как
базисные
векторы
линейно
независимы
,
то
1
1
β
=
,
2
2
β
=
, …,
n
n
β
=
и
теорема
доказана
.
Пример 2.5.
В
двумерном
пространстве
2
R
любые
два
неколлинеар
-
ных
ненулевых
вектора
можно
выбрать
в
качестве
базиса
,
поскольку
,
при
-
меняя
,
например
,
правило
параллелограмма
,
можно
любой
третий
вектор
выразить
через
линейную
комбинацию
базисных
векторов
.
Пример 2.6. Фундаментальная
система
частных
решений
системы
од
-
нородных
линейных
уравнений
образует
базис
,
поскольку
все
остальные
решения
(
общее
решение
)
являются
линейной
комбинацией
решений
фун
-
даментальной
системы
.

Страницы