ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
69
Пример 2.8.
T
x )7;3;1( −−=
,
T
y )2;0;6( −=
,
TT
yx )9;3,5()27;03;61( −=−−++−=+ ,
T
x )28;12;4(4 −−= .
Теорема (крите-
рий линейной за-
висимости векто-
ров)
Векторы
линейного
пространства
n
R
линейно
зависимы
тогда
и
только
тогда
,
когда
ранг матри-
цы
,
составленной
из
координат
этих
векторов
отно
-
сительно
какого
-
нибудь
базиса
,
меньше числа век-
торов
.
Необходимым
и
достаточным
условием
линей
-
ной
независимости
векторов
является
равенство
ранга матрицы
,
составленной
из
координат
этих
векторов
относительно
какого
-
нибудь
базиса
,
числу
векторов
.
Доказательство. Равенство
нулю
нетривиальной
линейной
комбина
-
ции
векторов
(
не все
коэффициенты
линейной
комбинации
–
нули
)
влечёт
за
собой
обращение
в
нуль
линейной
комбинации
их
координатных
столб
-
цов
с
теми
же
коэффициентами
.
Так
же
доказывается
и
обратное
предло
-
жение
.
Теорема (о составе
базиса)
Любой
ненулевой вектор
пространства
n
R
можно
включить
в
состав
какого
-
нибудь
базиса
этого
пространства
.
В
нулевом
пространстве
нет
базиса
,
так
как
система
,
состоящая
из
од
-
ного
нулевого
вектора
,
является
линейно
зависимой
.
Размерность
нулевого
пространства
по
определению
считается
равной
нулю
.
Может
случиться
,
что
каково
бы
ни
было
натуральное
число
m
,
в
пространстве
найдётся
m
линейно
независимых
векторов
.
Такое
простран
-
ство
называется
бесконечномерным
.
Базиса
в
нём
не
существует
.
Примеры 2.9. 1. Множество
векторов
на
плоскости
является
двумер
-
ным
линейным
пространством
.
2.
В
трёхмерном
пространстве
базисными
векторами
можно
выбрать
любые
три
вектора
,
определитель
из
координатных
столбцов
которых
от
-
личен
от
нуля
(
ранг
матрицы
из
координатных
столбцов
равен
трём
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
