Линейная алгебра. Линейное программирование. Тарбокова Т.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

75
Говорят так:
X
есть собственный вектор матрицы
A
, принадлежащий
ее собственному значению
λ
.
Таким образом, в рассмотренном примере из соотношения
X
AX
=
следует, что «вектор бюджетов»
X
является собственным вектором струк-
турной матрицы торговли
A
, а соответствующее собственное значение
равно единице:
1
=
λ
.
Существование
такого
собственного
вектора
вытекает
из
следующей
теоремы
.
Теорема (условие
1
=
λ
)
Если
в
матрице
A
сумма элементов каждого
столбца равна единице, то
имеется
собственный
вектор
,
принадлежащий
собственному
значению
1.
Доказательство.
Рассмотрим
случай
квадратной
матрицы
третьего
порядка
.
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A ,
−
−
−
=−
1
1
1
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
EA .
По
условию
,1
;1
;1
332313
322212
312111
=++
=++
=
+
+
aaa
aaa
aaa
Откуда
следует
,
что
.01
;01
;01
332313
322212
312111
=−++
=+−+
=
+
+
−
aaa
aaa
aaa
Эти
соотношения
показывают
,
что
сумма
строк
матрицы
E
A
−
равна
нулевому
вектору
,
т
.
е
.
матрица
E
A
−
–
вырожденная
.
В
соответствии
с
теоремой
о
существовании
нетривиальных
решений
однородной
системы
линейных
уравнений
система
уравнений
0
=
−
X
E
A

Страницы