Методы и модели анализа временных рядов. Татаренко С.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими
процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населе-
ния), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть ука-
заны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу
площади и т.п.
Функции, относящиеся ко II классу, называются
кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба,
то они относятся к III типу кривых роста –
к S-образным кривым.
Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достиг-
нутого уровня): один с ускорением развития, другой – с замедлением.
S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач про-
гнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.
Среди кривых роста I типа прежде всего следует выделить
класс полиномов:
p
pt
tatatataaU +++++= ...
3
3
2
210
,
где a
i
(i = 0, 1, ..., p) – параметры многочлена; t – независимая переменная (время); p – степень полинома.
Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания
динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a
1
), ускорение роста (a
2
), изменение ускорения (a
3
),
начальный уровень ряда при t = 0 (a
0
).
Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для опреде-
ления тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие
функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).
Полином первой степени на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во
времени равномерно. Полином второй степени применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е.
имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).
Оценки параметров полиномов выполняют методом наименьших квадратов, т.е. в результате минимизации выражения:
∑
=
→−
n
t
tt
UY
1
2
min)( .
Если в качестве U
t
использовать полином вида U
t
= a
0
+ a
1
t, то для определения параметров a
0
и a
1
получим систему ли-
нейных уравнений:
=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==
n
t
n
t
t
n
t
n
t
t
n
t
tYtata
Ytana
111
2
10
11
10
.
;
Для квадратичного тренда U
t
= a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
получим систему
=++
=++
=++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
====
====
===
n
t
n
t
t
n
t
n
t
n
t
n
t
t
n
t
n
t
n
t
t
n
t
n
t
Yttatata
tYtatata
Ytatana
11
2
1
4
2
1
3
1
2
0
111
3
2
1
2
10
11
2
2
1
10
.
;
;
При использовании кривых роста, не являющихся полиномами, необходимо применять замену переменных, позволяю-
щую определить параметры линии роста с помощью системы линейных уравнений.
Для экспоненты вида Y
t
= ab
t
это достигается путем логарифмирования:
btaY
t
lnlnln
+
=
.
Используя замену переменных bsapYz
tt
ln,ln,ln
=
== , получим линейное уравнение z
t
= p + ts. Параметры p и s мож-
но определить из системы линейных уравнений

Страницы