Методы и модели анализа временных рядов. Татаренко С.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==
n
t
n
t
t
n
t
n
t
t
n
t
Yttstp
Ytsnp
111
2
11
,ln
;ln
а затем определить параметры экспоненты a = e
t
, b = e
s
.
Модифицированная экспонента относится к кривым II класса и имеет вид:
U
t
= k + ab
t
,
где a < 0; 0 < b < 1; k – асимптота, значение которой считается известным.
Параметры a и b можно найти, как и для простой экспоненты, перенеся k в левую часть:
U
t
– k = ab
t
.
Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола:
2
210
tt
t
aaaU =
.
Прологарифмировав это выражение, получим параболу:
2
2
10
lnlnlnln atataY
t
++= .
Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наимень-
ших квадратов, используя систему нормальных уравнений для параболы.
К кривым роста III класса относятся кривая Гомперца и логистическая кривая (Перла-Рида). Кривая Гомперца имеет
вид
t
b
t
akU =
.
Если a > 1, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b < 1 – монотонно убы-
вает; при b > 1 – монотонно возрастает.
В кривой Гомперца выделяют четыре участка: на первом – прирост функции незначителен, на втором – прирост увели-
чивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функ-
ция приближается к значению k.
Применяя дважды логарифмирование, получим линейное уравнение
btakUabkU
t
t
t
lnlnln)lnln(ln,lnlnln +=−+= .
Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте U
t
обратной величиной
1/U
t
:
t
t
abkU +=/1
.
Используются и другие формы записи уравнения логистической кривой:
bta
t
t
t
bt
t
k
U
ab
k
U
ae
k
U
−−
+
=
+
=
+
=
101
;
1
;
1
.
При t → –
∞ логистическая кривая стремится к нулю, а при t → ∞ – к асимптоте, равной значению параметра k. Кривая
симметрична относительно точки перегиба с координатами: t = ln b/a; U
t
= k/2.
Для выбора кривой роста используется метод характеристик прироста, основанный на использовании отдельных харак-
терных свойств рассмотренных выше кривых. Процедура выбора кривых с использованием этого метода включает выравни-
вание ряда Y
t
с помощью скользящей средней (обычно среднеарифметической по трем точкам) и определение средних при-
ростов и производных величин:
2
11 −+
−
=∆
tt
t
YY
Y
– первый средний прирост;
2
11
2
−+
∆−∆
=∆
tt
t
YY
Y
– второй средний прирост;
2
ln,ln,ln,
t
t
t
t
t
t
t
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y ∆∆∆
– производные величины.
В соответствии с характером изменений средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста с
помощью табл. 4.

Страницы