Теоретическая механика. - 152 стр.

                                              s   s
                            1
     U (q1, q2 ,..., qs ) =
                            2             ∑∑ cij qi q j .
                                             i =1 j =1

     Потенциальная энергия системы является однородной квадратичной
функцией           обобщенных                         координат.            Постоянные   cij   называют

коэффициентами жесткости.
  Дифференциальные уравнения движения системы с s степенями свободы можно

  получить из уравнений Лагранжа второго рода в обобщенных координатах


      d ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂L ⎞
          ⎜       ⎟−⎜       ⎟=0                       (i = 1, 2,..., s ).
      dt ⎜⎝ ∂q&i ⎟⎠ ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠

  Функция Лагранжа системы, совершающей свободные малые колебания

                                    s    s
                                   ∑∑ (aij q&i q&i − cij qi q j ).
                 1
      L = Τ −U =
                 2
                                   i =1 j =1

     Полный дифференциал функции Лагранжа
                       s       s
               ∑∑ (aij q&i dq& j + aij q& j dq&i − cij qi dq j − cij q j dqi )
           1
      dL =
           2
                   i =1 j =1

или после преобразований:
               s           s
      dL =   ∑∑ (aij q& j dq&i − cij q j dqi ).
             i =1 j =1

     Производные, входящие в уравнения Лагранжа:
                   s                                 s                    s
      ∂L                              d ⎛ ∂L ⎞                     ∂L
      ∂q&i
           =   ∑           aij q& j ;     ⎜       ⎟=
                                      dt ⎜⎝ ∂q&i ⎟⎠         ∑
                                                       aij q&& j ;
                                                                   ∂qi           ∑
                                                                       = − cij q j .
               j =1                                         j =1                 j =1




                                                               152