Теоретическая механика. - 153 стр.

UptoLike

Рубрика: 

153
Уравнения Лагранжа приводят к системе s линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами
0
11
=+
==
s
j
iij
s
j
jij
qcqa
&&
(
)
si ,...,2,1
=
.
По общим правилам решения таких уравнений частные решения
ищутся в форме
ti
jj
eAtq
ω
=)( или
(
)
α
+
ω
=
tAtq
j
sin)( .
Подставляя частные решения в исходную систему уравнений,
получим систему однородных линейных относительно неизвестных
постоянных
j
A алгебраических уравнений
()
0
1
2
=+ω
=
s
j
jijij
Aca
(
)
si ,...,2,1
=
.
Система однородных линейных алгебраических уравнений может
иметь отличные от нуля решения, если определитель этой системы равен
нулю:
0
2
=ω
ijij
ac
.
Полученное уравнениехарактеристическое уравнение (или
уравнение частот) – является уравнением s-й степени относительно
2
ω
.
Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных
корней
2
j
ω
()
sj ,...,2,1
=
. Определенные таким образом величины
i
ω
называются собственными частотами системы.
        Уравнения Лагранжа приводят к системе s линейных однородных
      дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
                                        коэффициентами
                            s             s
                          ∑ aij q&& j + ∑ cij qi = 0                  (i = 1, 2,..., s ).
                           j =1          j =1

      По общим правилам решения таких уравнений частные решения
ищутся в форме

      q j (t ) = A j eiωt или q j (t ) = A sin (ωt + α ) .

      Подставляя частные решения в исходную систему уравнений,
получим систему однородных линейных относительно неизвестных
постоянных A j алгебраических уравнений


      ∑ (− ω2aij + cij )A j = 0
        s
                                                (i = 1, 2,..., s ).
       j =1

      Система однородных линейных алгебраических уравнений может
иметь отличные от нуля решения, если определитель этой системы равен

нулю: cij − aij ω2 = 0 .

      Полученное уравнение – характеристическое уравнение (или

уравнение частот) – является уравнением s-й степени относительно ω2 .
Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных

корней ω2j     ( j = 1, 2,..., s ) .   Определенные таким образом величины ωi

называются собственными частотами системы.




                                                 153