Теоретическая механика. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

169
Введем обозначения
2
3
5,6
k
P
cg
=⋅
,
ag =
3
7
.
Таким образом, уравнение приведено к виду
axkx =+
2
&&
.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде
x = x
1
+ x
2
, где
(
)
(
)
ktCktCx cossin
211
+
=
– общее решение
однородного уравнения
0
2
=
+
x
k
x
&&
,
x
2
– частное решение
дифференциального уравнения, которое следует искать в таком же виде,
который имеет правая часть. Так как правая часть уравнения представляет
собой константу, будем искать решение
х
2
в виде
Ax =
2
. Подставив
значение функции
Ax =
2
и ее второй производной
0
2
=x
&&
в уравнение,
получим
A = a/k
2
. Таким образом, общее решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
2
21
sincos
k
a
ktCktCx ++=
,
где
C
1
и
C
2
– постоянные интегрирования.
Для их определения найдем еще производную
x
&
:
()
(
)
ktkCktkCx sincos
21
−=
&
.
Поскольку движение начинается из состояния покоя и пружина в
этот момент не деформирована, начальными условиями этого движения
будут:
0
0
=t
,
0
0
=x
,
0
0
=x
&
. Подставляя эти величины в уравнения закона
движения и закона изменения скорости, найдем
С
1
= 0,
С
2
=
а/k
2
.
Окончательно получим искомую зависимость
x = f(t)
в виде
()
ktcos
k
a
x −=
1
2
, 
                                     6,5 cg       7
      Введем обозначения                ⋅   = k2 , g = a .
                                      3 P         3

      Таким образом, уравнение приведено к виду &x& + k 2 x = a .

      Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде x = x1 + x2 , где x1 = C1 sin (kt ) + C 2 cos(kt ) – общее решение

однородного            уравнения       &x& + k 2 x = 0 ,   x2   –   частное   решение
дифференциального уравнения, которое следует искать в таком же виде,
который имеет правая часть. Так как правая часть уравнения представляет
собой константу, будем искать решение х2 в виде x2 = A . Подставив

значение функции x2 = A и ее второй производной &x&2 = 0 в уравнение,

получим A = a/k2. Таким образом, общее решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
                                      a
      x = C1 cos kt + C2 sin kt +        ,
                                      k2
где C1 и C2 – постоянные интегрирования.
      Для их определения найдем еще производную x& :

      x& = C1k cos(kt ) − C2 k sin (kt ) .

      Поскольку движение начинается из состояния покоя и пружина в
этот момент не деформирована, начальными условиями этого движения
будут: t0 = 0 , x0 = 0 , x&0 = 0 . Подставляя эти величины в уравнения закона

движения и закона изменения скорости, найдем С1 = 0, С2 = а/k2.
      Окончательно получим искомую зависимость x = f(t) в виде
           a
      x=
               2
                   (1 − cos kt ) ,
           k




                                               169

Страницы