Теоретическая механика. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

171
равновесного положения (при равновесии φ=0 и 00
4
== s,s
D
); при
малы
х колебаниях системы считаем угол φ малым.
Поскольку все действующие на систему активные силы
потенциальные (сила тяжести и сила упругости), выразим
обобщенную силу Q через потенциальную энергию П системы.
Тогда исходным уравнением будет
ϕ∂
Π∂
−=
ϕ∂
Π∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
Τ∂
&
dt
d
.
2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме
энергий всех тел:
421
Τ+Τ+Τ=Τ
.
Так как колеса
1
и
2
вращаются вокруг осей
О
1
и
О
2
, а груз
4
движется поступательно, то
2
111
2
1
ω=Τ I
,
2
222
2
1
ω=Τ I
,
2
444
2
1
vm=Τ
, где
2
2
11
1
Rm
I =
,
2
2
21
2
Rm
I =
– осевые моменты инерции.
Все скорости, входящие в выражения кинетических энергий выразим
через обобщенную скорость
ϕ
&
:
ϕ
=
ω
&
1
,
2
1
2
r
R
ϕ=ω
&
,
ϕ
=
&
14
rv
.
Выражение для кинетической энергии системы примет вид
22
14
2
2
2
1
2
22
2
11
22
14
2
2
11
2
22
1
2
1
22
1
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=ϕ+ϕ=Τ
&&&
rm
r
RRmRm
rm
Rm
. 
равновесного положения (при равновесии φ=0 и s D = 0 , s4 = 0 ); при
малых колебаниях системы считаем угол φ малым.
        Поскольку все действующие на систему активные силы
потенциальные          (сила     тяжести       и   сила   упругости),     выразим
обобщенную силу Q через потенциальную энергию П системы.
Тогда исходным уравнением будет

        d ⎛ ∂Τ ⎞ ∂Π      ∂Π
           ⎜ ⎟−       =−    .
        dt ⎝ ∂ϕ& ⎠ ∂ϕ    ∂ϕ

        2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме
энергий всех тел:

        Τ = Τ1 + Τ2 + Τ4 .

        Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей О1 и О2, а груз 4
                                          1             1             1
движется поступательно, то Τ1 =             I1ω12 , Τ2 = I 2ω22 , Τ4 = m4v42 , где
                                          2             2             2
       m1R12        m R2
I1 =         , I 2 = 1 2 – осевые моменты инерции.
         2            2
        Все скорости, входящие в выражения кинетических энергий выразим
                                                R
через обобщенную скорость ϕ& : ω1 = ϕ& , ω2 = ϕ& 1 , v4 = r1ϕ& .
                                                r2

        Выражение для кинетической энергии системы примет вид

                    1 m1R12 2 1             1 ⎛ m R2 m R2R2            ⎞
               Τ=          ϕ& + m4 r12ϕ& 2 = ⎜⎜ 1 1 + 2 22 1 + m4 r12 ⎟⎟ϕ& 2 .
                    2 2        2            2⎝ 2       2r2             ⎠




                                         171

Страницы