Теоретическая механика. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

88
.
и
перотн
FFRPam
rrrr
r
+++=
Проецируя обе его части на ось
х
, получим
1
α
−
−μ−
−
=
mcxxmgxm
&&&
,
где эквивалентная жесткость пружины
Hccc 500300200
31
=+
=
+
=
.
Таким образом, получим
akx
x
n
x
=
+
+
2
2
&&&
,
где
m
n
2
μ
=
,
m
c
k =
2
,
(
)
1
α
+
−
= ga
;
1
10
12
20
−
=
⋅
= cn
,
12
500
1
500
−
== ck
,
1
3622
−
= c,k
,
g
,a 52
=
.
2. Для определения закона движения груза нужно
проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение. Его
общее решение будет равно сумме
21
xxx
+
=
, где
1
x
– решение
однородного дифференциального уравнения
02
1
2
11
=++ xkxnx
&&&
и это
решение имеет вид
(
)
ktCktCex
nt
cossin
211
+=
−
; х
2
– частное решение
уравнения.
Решение х
2
ищем в виде Ax
=
2
. Тогда 0
2
=
x
&
, 0
2
=x
&&
, откуда
a
A
=
2
и м050
500
1052
2
,
,
k
a
A −=
⋅
−== .
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)
AktCktCex
nt
++=
−
cossin
21
.
Первая производная по времени от закона движения будет
представлять собой закон изменения скорости – первый интеграл
(
)
(
)
ktkCkkCektCktCnex
ntnt
sincoscossin
2121
−++−=
−
−
&
. 
        r      r r r rи
       maотн = P + R + F + Fпер .

      Проецируя обе его части на ось х, получим m&x& = −mg − μx& − cx − mα1 ,

где эквивалентная жесткость пружины c = c1 + c3 = 200 + 300 = 500 H .

      Таким образом, получим &x& + 2nx& + kx 2 = a ,

            μ        c                        20                     500
где n =       , k 2 = , a = −( g + α1 ) ; n =      = 10 c −1 , k 2 =     = 500c −1 ,
           2m        m                        2 ⋅1                    1

k = 22 ,36c −1 , a = 2 ,5 g .

      2.     Для       определения            закона        движения          груза   нужно
проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение. Его
общее решение будет равно сумме x = x1 + x2 , где x1 – решение

однородного дифференциального уравнения &x&1 + 2nx&1 + k 2 x1 = 0 и это

решение имеет вид x1 = e − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) ; х2 – частное решение
уравнения.
      Решение х2 ищем в виде x2 = A . Тогда x&2 = 0 , &x&2 = 0 , откуда
                   a        2 ,5 ⋅10
k2A = a и A =          =−            = −0 ,05 м .
                  k2         500

      Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид x = e − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) + A .

      Первая производная по времени от закона движения будет
представлять собой закон изменения скорости – первый интеграл

       x& = −ne − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) + e − nt (kC1 cos k − kC2 sin kt ) .




                                               88

Страницы