Теория функций комплексного переменного. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ôÅÏÒÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
§1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
1.1. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ (× ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
×ÉÄÁ
z = x + iy,
ÇÄÅ i ÓÉÍ×ÏÌ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÎÉÍÏÊ ÅÄÉÎÉÃÅÊ, x É y ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. x = Re z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z,
y = Im z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z.
ðÕÓÔØ z
1
= x
1
+ iy
1
É z
2
= x
2
+ iy
2
.
1. ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ
z
1
= z
2
, ÅÓÌÉ x
1
= x
2
É y
1
= y
2
.
2. óÕÍÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z
3
= z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
).
3. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉ-
ÓÌÏ
z
3
= z
1
z
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×Õ-
ÞÌÅÎÏ×.
éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
i
2
= ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = −1.
ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x − iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ
ÞÉÓÌÕ z = x + iy.
4. ïÐÅÒÁÃÉÑ ÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z
1
ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z
2
, ÅÓÌÉ
z
2
6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ, Ô.Å.
z =
z
1
z
2
, ÅÓÌÉ z
1
= zz
2
.
1
       ôÅÏÒÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
               ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

  §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
1.1. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ (× ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
×ÉÄÁ
                            z = x + iy,
ÇÄÅ i ÓÉÍ×ÏÌ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÎÉÍÏÊ ÅÄÉÎÉÃÅÊ, x É y ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. x = Re z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z,
y = Im z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z.
   ðÕÓÔØ z1 = x1 + iy1 É z2 = x2 + iy2.
   1. ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ
                      z1 = z2 , ÅÓÌÉ x1 = x2 É y1 = y2 .
  2. óÕÍÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
                    z3 = z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ).
   3. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉ-
ÓÌÏ
                 z3 = z1 z2 = (x1x2 − y1 y2 ) + i(x1y2 + x2y1 ).
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×Õ-
ÞÌÅÎÏ×.
  éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
                      i2 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = −1.
    ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x − iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ
ÞÉÓÌÕ z = x + iy.
    4. ïÐÅÒÁÃÉÑ ÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z1 ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z2 , ÅÓÌÉ
z2 6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ, Ô.Å.
                               z1
                           z = , ÅÓÌÉ z1 = zz2 .
                               z2
                                     1

Страницы