Теория функций комплексного переменного. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
4) ×ÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÁÌÅÎ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
z = i ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ.
1.3. ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
äÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z = x + iy É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ |z|:
|z| =
p
x
2
+ y
2
=
√
zz.
õÇÏÌ ϕ ÍÅÖÄÕ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÓÉ OX É ×ÅËÔÏÒÏÍ z ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ z É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ϕ = Arg z. ïÎ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ,
Á Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ, ËÒÁÔÎÏÇÏ 2π. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ −π < ϕ 6 π, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ arg z:
Arg z = arg z + 2πk, k ∈ Z.
äÌÑ z = 0 ÐÏÎÑÔÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ.
çÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
arg z =
arctg
y
x
, ÅÓÌÉ x > 0,
arctg
y
x
+ π, ÅÓÌÉ x < 0, y > 0,
arctg
y
x
− π, ÅÓÌÉ x < 0, y < 0,
π
2
, ÅÓÌÉ x = 0, y > 0,
−
π
2
, ÅÓÌÉ x = 0, y < 0.
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍÉ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÔÒÉ-
ÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ:
z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)).
ðÒÉÍÅÒ 5. úÁÐÉÓÁÔØ ÞÉÓÌÏ z = −8 −i8
√
3 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
òÅÛÅÎÉÅ:
|z| =
p
x
2
+ y
2
=
q
(−8)
2
+ (−8
√
3)
2
= 16.
ôÁË ËÁË
x = −8 < 0, y = −8
√
3 < 0,
ÔÏ
arg z = arctg
y
x
− π = arctg
√
3 − π = −
2
3
π.
4                            §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ

   4) ×ÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÁÌÅÎ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
z = i ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ.


1.3. ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

äÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z = x + iy É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ |z|:
                             p          √
                        |z| = x2 + y 2 = z z.
   õÇÏÌ ϕ ÍÅÖÄÕ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÓÉ OX É ×ÅËÔÏÒÏÍ z ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ z É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ϕ = Arg z. ïÎ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ,
Á Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ, ËÒÁÔÎÏÇÏ 2π. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ −π < ϕ 6 π, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ arg z:

                        Arg z = arg z + 2πk, k ∈ Z.
äÌÑ z = 0 ÐÏÎÑÔÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ.
  çÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
                         arctg xy ,
                       
                                      ÅÓÌÉ x > 0,
                                y
                       
                        arctg x + π, ÅÓÌÉ x < 0, y > 0,
                       
                       
               arg z =   arctg xy − π, ÅÓÌÉ x < 0, y < 0,
                         π
                           ,           ÅÓÌÉ x = 0, y > 0,
                       
                       
                        2π
                       
                       
                         −2,           ÅÓÌÉ x = 0, y < 0.
   ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍÉ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÔÒÉ-
ÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ:
                     z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)).
                                           √
     ðÒÉÍÅÒ 5. úÁÐÉÓÁÔØ ÞÉÓÌÏ z = −8 − i8 3 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
     òÅÛÅÎÉÅ:
                     p            q              √
                |z| = x2 + y 2 = (−8)2 + (−8 3)2 = 16.

ôÁË ËÁË
                                              √
                      x = −8 < 0,       y = −8 3 < 0,
ÔÏ
                                 y            √         2
                 arg z = arctg     − π = arctg 3 − π = − π.
                                 x                      3

Страницы