Теория функций комплексного переменного. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 5
ðÏÜÔÏÍÕ
z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)) =
= 16(cos(−
2
3
π + 2πk) + i sin(−
2
3
π + 2πk)), k ∈ Z.
ïÐÅÒÁÃÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ
ÓÍÙÓÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
z
1
z
2
= |z
1
||z
2
|(cos(Arg z
1
+ Arg z
2
) + i sin(Arg z
1
+ Arg z
2
))
É
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
(cos(Arg z
1
− Arg z
2
) + i sin(Arg z
1
− Arg z
2
)).
éÚ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ
z
n
= |z|
n
(cos(n Arg z) + i sin(n Arg z)).
ïÐÅÒÁÃÉÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ËÏÒÎÑ ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑ-
ÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÏÐÅÒÁÃÉÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ÞÉÓÌÁ w É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
n
√
w = z,
ÅÓÌÉ z
n
= w. ëÏÒÅÎØ n-Ê ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ w(w 6= 0) ÉÍÅÅÔ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
z =
n
√
w =
n
p
|w|
cos
arg w + 2πk
n
+ i sin
arg w + 2πk
n

,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ
n
p
|w| ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
4
p
−8 − i8
√
3.
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉ-
ÓÌÁ −8 − i8
√
3, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5:
4
q
−8 − i8
√
3 =
4
s
16
cos
−
2
3
π + 2πk
+ i sin
−
2
3
π + 2πk

=
= 2
cos
−
2
3
π + 2πk
4
+ i sin
−
2
3
π + 2πk
4
(k = 0, 1, 2, 3).
ðÏÌÏÖÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ k = 0, 1, 2, 3. âÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
§1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ                                           5

ðÏÜÔÏÍÕ

 z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)) =
                                   2                2
                       = 16(cos(− π + 2πk) + i sin(− π + 2πk)), k ∈ Z.
                                   3                3
  ïÐÅÒÁÃÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ
ÓÍÙÓÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
          z1 z2 = |z1 ||z2 |(cos(Arg z1 + Arg z2 ) + i sin(Arg z1 + Arg z2 ))
É
             z1   |z1 |
                =       (cos(Arg z1 − Arg z2 ) + i sin(Arg z1 − Arg z2 )).
             z2   |z2 |
éÚ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ
                     z n = |z|n (cos(n Arg z) + i sin(n Arg z)).
     ïÐÅÒÁÃÉÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ËÏÒÎÑ ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑ-
ÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÏÐÅÒÁÃÉÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ     √
ÞÉÓÌÏ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ÞÉÓÌÁ w É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ n w = z,
ÅÓÌÉ z n = w. ëÏÒÅÎØ n-Ê ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ w(w 6= 0) ÉÍÅÅÔ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
       √
                                                           
              p
              n          arg w +  2πk             arg w  + 2πk
  z = n w = |w| cos                     + i sin                     ,
                               n                        n
                                                           k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
            p
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ n |w| ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ.                          p          √
                                      4
     ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ −8 − i8 3.
     òÅÛÅÎÉÅ:√ ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉ-
ÓÌÁ −8 − i8 3, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5:
                  s  
             √
  q                                                             
   4                            2                       2
      −8 − i8 3 = 4 16 cos − π + 2πk + i sin − π + 2πk                  =
                                3                       3
                         2                        2
                                                         
                       − π + 2πk                − π + 2πk
             = 2 cos  3
                                               3
                                      + i sin                 (k = 0, 1, 2, 3).
                                                          
                            4                         4
                                             


    ðÏÌÏÖÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ k = 0, 1, 2, 3. âÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:

Страницы