ВУЗ:
2 §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
z
1
z
2
= z =
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
+ i
x
2
y
1
− x
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÕÄÏÂÎÅÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ:
z
1
z
2
=
z
1
z
2
z
2
z
2
.
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÕÓÔØ z
1
= −2 + 3i É z
2
= 4 + 5i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
z
1
+ z
2
, z
1
− z
2
, z
1
z
2
,
z
1
z
2
.
òÅÛÅÎÉÅ:
z
1
+ z
2
= (−2 + 4) + i(3 + 5) = 2 + 8i,
z
1
− z
2
= (−2 − 4) + i(3 − 5) = −6 − 2i,
z
1
z
2
= (−2 + 3i)(4 + 5i) = −8 + 12i − 10i − 15 = −23 + 2i,
z
1
z
2
=
−2 + 3i
4 + 5i
=
(−2 + 3i)(4 − 5i)
(4 + 5i)(4 −5i)
=
7 + 22i
41
=
7
41
+ i
22
41
.
ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z + z = 2 Re z.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ z = x + iy, ÔÏÇÄÁ
Re z = x, z = x − iy.
ðÏÜÔÏÍÕ
z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z.
1.2. ëÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ
ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x + iy ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY ÔÏÞËÏÊ M
Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x, y) ÌÉÂÏ ×ÅËÔÏÒÏÍ, ÎÁÞÁÌÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ
O(0, 0), Á ËÏÎÅÃ × ÔÏÞËÅ M(x, y).
ðÌÏÓËÏÓÔØ, ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ-
×ÁÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ: z
1
= 3i, z
2
= −4i, z
3
= 5, z
4
= 1 + 2i, z
5
=
−2 + 3i, z
6
= −1 − i, z
7
= 2 − 4i.
2 §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
z1 x1 x2 + y 1 y 2 x2 y 1 − x 1 y 2
=z= + i .
z2 x22 + y22 x22 + y22
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÕÄÏÂÎÅÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ:
z1 z1 z2
= .
z2 z2 z2
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÕÓÔØ z1 = −2 + 3i É z2 = 4 + 5i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
z1
z1 + z2 , z1 − z 2 , z1 z2 , .
z2
òÅÛÅÎÉÅ:
z1 + z2 = (−2 + 4) + i(3 + 5) = 2 + 8i,
z1 − z2 = (−2 − 4) + i(3 − 5) = −6 − 2i,
z1 z2 = (−2 + 3i)(4 + 5i) = −8 + 12i − 10i − 15 = −23 + 2i,
z1 −2 + 3i (−2 + 3i)(4 − 5i) 7 + 22i 7 22
= = = = +i .
z2 4 + 5i (4 + 5i)(4 − 5i) 41 41 41
ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z + z = 2 Re z.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ z = x + iy, ÔÏÇÄÁ
Re z = x, z = x − iy.
ðÏÜÔÏÍÕ
z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z.
1.2. ëÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ
ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x + iy ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY ÔÏÞËÏÊ M
Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x, y) ÌÉÂÏ ×ÅËÔÏÒÏÍ, ÎÁÞÁÌÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ
O(0, 0), Á ËÏÎÅÃ × ÔÏÞËÅ M (x, y).
ðÌÏÓËÏÓÔØ, ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ-
×ÁÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ: z1 = 3i, z2 = −4i, z3 = 5, z4 = 1 + 2i, z5 =
−2 + 3i, z6 = −1 − i, z7 = 2 − 4i.
