Теория функций комплексного переменного. - 2 стр.

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2                                §1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ

éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
                     z1     x1 x2 + y 1 y 2     x2 y 1 − x 1 y 2
                        =z=                 + i                  .
                     z2       x22 + y22           x22 + y22
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÕÄÏÂÎÅÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ:
                                     z1   z1 z2
                                        =        .
                                     z2   z2 z2
    ðÒÉÍÅÒ 1. ðÕÓÔØ z1 = −2 + 3i É z2 = 4 + 5i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
                                                               z1
                     z1 + z2 ,     z1 − z 2 ,        z1 z2 ,      .
                                                               z2
    òÅÛÅÎÉÅ:

                    z1 + z2 = (−2 + 4) + i(3 + 5) = 2 + 8i,
                    z1 − z2 = (−2 − 4) + i(3 − 5) = −6 − 2i,
          z1 z2 = (−2 + 3i)(4 + 5i) = −8 + 12i − 10i − 15 = −23 + 2i,
           z1   −2 + 3i (−2 + 3i)(4 − 5i) 7 + 22i   7    22
              =        =                  =       =    +i .
           z2   4 + 5i   (4 + 5i)(4 − 5i)   41      41   41
    ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z + z = 2 Re z.
    òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ z = x + iy, ÔÏÇÄÁ

                             Re z = x,      z = x − iy.

ðÏÜÔÏÍÕ
                    z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z.


1.2. ëÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ

ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x + iy ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY ÔÏÞËÏÊ M
Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x, y) ÌÉÂÏ ×ÅËÔÏÒÏÍ, ÎÁÞÁÌÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ
O(0, 0), Á ËÏÎÅÃ × ÔÏÞËÅ M (x, y).
   ðÌÏÓËÏÓÔØ, ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ-
×ÁÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ: z1 = 3i, z2 = −4i, z3 = 5, z4 = 1 + 2i, z5 =
−2 + 3i, z6 = −1 − i, z7 = 2 − 4i.