ВУЗ:
Рубрика:
- 18 - Теория множеств
123
x (A)
y (B)
z (C)
3
4
3
2
Рис.30
=×× СВА {<1, 2, 3>, <1, 2, 4>, <1, 3, 3>, <1, 3, 4>, <2, 2, 3>, <2, 2, 4>, <2, 3, 3>, <2, 3, 4>,
<3, 2, 3>, <3, 2, 4>, <3, 3, 3>, <3, 3, 4>
}.
Расположив множества А, В и С на осях x, y, z соответственно, получим графическую
интерпретацию декартова произведения множеств (рис.30).
17.9. Расположив
R на оси х, а N на оси y, получим результат, представленный
на рис.31.
Рис.31
18.4 Докажем, что )(\)()\(
CBXACBA
×
×
=
×
.
В левой части выражения мы имеем множество пар типа
{
}
CyBAxyxCBAF
∈
∈
>
<
=
×
= ,\ | ,)\( .
В правой части
=××= )(\)( CBCAG
{}
\ , | , CyAxyx
∈
∈
><
{
}
CyBxyx ∈∈>
<
, | ,
11
.
Если
=BA I Ø (множества А и В не пересекаются), т.е. ABA =\ и CAF
×
=
, то
CACBCAG ×
=
××= )(\)(, так как у элементов множеств CA
×
и CB × (пар) будут
разными первые компоненты, т.е.
=
×
×
)()( CBCA I Ø . В общем случае, когда
Ø
≠BA I , в левой части будут отсутствовать пары вида >
<
yx ,
2
, где BAx I
∈
2
и
Cy ∈ .
Для правой части
{}
CACyBAxyx
×
⊆
∈
∈
>< , | ,
22
I ,
- 18 - Теория множеств
z (C)
y (B)
4
3
3
2
x (A)
1 2 3
Рис.30
А × В × С = {<1, 2, 3>, <1, 2, 4>, <1, 3, 3>, <1, 3, 4>, <2, 2, 3>, <2, 2, 4>, <2, 3, 3>, <2, 3, 4>,
<3, 2, 3>, <3, 2, 4>, <3, 3, 3>, <3, 3, 4>}.
Расположив множества А, В и С на осях x, y, z соответственно, получим графическую
интерпретацию декартова произведения множеств (рис.30).
17.9. Расположив R на оси х, а N на оси y, получим результат, представленный
на рис.31.
Рис.31
18.4 Докажем, что ( A \ B) × C = ( A × X ) \ ( B × C ) .
В левой части выражения мы имеем множество пар типа
F = ( A \ B) × C = {< x, y > | x ∈ A \ B, y ∈ C} .
В правой части
G = ( A × C ) \ ( B × C ) = {< x, y > | x ∈ A, y ∈ C} \ {< x1 , y > | x1 ∈ B, y ∈ C} .
Если A I B = Ø (множества А и В не пересекаются), т.е. A \ B = A и F = A × C , то
G = ( A × C ) \ ( B × C ) = A × C , так как у элементов множеств A × C и B × C (пар) будут
разными первые компоненты, т.е. ( A × C ) I ( B × C ) = Ø . В общем случае, когда
A I B ≠ Ø , в левой части будут отсутствовать пары вида < x 2 , y > , где x 2 ∈ A I B и
y ∈C .
Для правой части
{< x 2 , y > | x 2 ∈ A I B, y ∈ C} ⊆ A × C ,
